HDU 6331 Walking Plan 【矩阵快速幂妙用+分块】

题意：n个点m条单向边，一个人每天要从s点走到t点，至少经过k条边，问每天走的最短路径。

考虑邻接矩阵中， $a[i][j]$ 表示的是 $i$ 这个点走到 $j$ 这个点的距离。这里我们可以认为是 $i$ 这个点恰好经过 $1$ 条边走到 $j$ 点的最短距离。在做矩阵乘法的时候，用 $min(a[i][j],a[i][k]+a[k][j])$ 来代替乘法，再套用矩阵快速幂即可达到 $i$ 到 $j$ 恰好经过 $k$ 条边的效果。

但是这样复杂度还是不太够。考虑分块。最多至少经过10000条边，分成 $\sqrt{10000}=100$ 块，预处理出至少经过100,200,…,10000条边的最短距离和至少经过1,2,3,…,100条边的最短距离。令 $K=100X+Y$ ，则枚举中间经过的点 $i$ ， $ans[s][t]=min(ans[s][t],a[s][i]+a[i][t])$ 。而又因为是至少经过 $k$ 条边，因此要考虑经过超过 $k$ 条边的情况。在块内，走的边少的情况可以继承走的边多的情况，在块间，除了考虑当前块的情况，还要继承下一个块的值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=1e18;

int T,n,m,q;

struct Matrix{
    ll a[55][55];
    Matrix(){
        for (int i=0;i<55;i++){
            for (int j=0;j<55;j++){
                a[i][j]=inf;
            }
        }
    }
    Matrix operator * (const Matrix &b) const{
        Matrix mat;
        for (int k=1;k<=n;k++)
            for (int i=1;i<=n;i++)
                for (int j=1;j<=n;j++)
                    mat.a[i][j]=min(mat.a[i][j],a[i][k]+b.a[k][j]);
        return mat;
    }
};

Matrix mat,matrix[110],matrix100[110];

void init(){
    matrix[1]=mat;
    for (int i=2;i<=101;i++)    matrix[i]=matrix[i-1]*matrix[1];
    matrix100[1]=matrix[100];
    for (int i=2;i<=101;i++)    matrix100[i]=matrix100[i-1]*matrix100[1];
    for (int k=99;k>=1;k--){
        for (int i=1;i<=n;i++){
            for (int j=1;j<=n;j++){
                matrix[k].a[i][j]=min(matrix[k].a[i][j],matrix[k+1].a[i][j]);
                matrix100[k].a[i][j]=min(matrix100[k].a[i][j],matrix100[k+1].a[i][j]);
            }
        }
    }
    matrix[0]=matrix[1];
    for (int i=0;i<55;i++){
        for (int j=0;j<55;j++){
            matrix100[0].a[i][j]=inf;
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while (T--){
        scanf("%d %d",&n,&m);
        for (int i=0;i<54;i++){
            for (int j=0;j<54;j++){
                mat.a[i][j]=inf;
            }
        }
        for (int i=1;i<=m;i++){
            int u,v;
            ll w;
            scanf("%d %d %lld",&u,&v,&w);
            mat.a[u][v]=min(mat.a[u][v],w);
        }
        init();
        scanf("%d",&q);
        while (q--){
            int s,t,k;
            scanf("%d %d %d",&s,&t,&k);
            ll ans=inf;
            ll x=k/100;
            ll y=k%100;
            for (int i=1;i<=n;i++){
                ans=min(ans,matrix100[x].a[s][i]+matrix[y].a[i][t]);
                ans=min(ans,matrix100[x+1].a[s][i]+matrix[0].a[i][t]);
            }
            if (x==0)    ans=min(ans,matrix[y].a[s][t]);
            if (y==0)    ans=min(ans,matrix100[x].a[s][t]);
            if (ans==inf)    printf("-1\n");
            else    printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

HDU 6331 Walking Plan 【矩阵快速幂妙用+分块】

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