（CV，Math）射影几何

本文地址：http://blog.csdn.net/mounty_fsc/article/details/51496640

计算机视觉中常涉及欧式几何（Euclidean Geometry）、仿射几何（Affine Geometry）、射影几何（Projective Geometry）、微分几何（ Differential Geometry）。

1 射影空间

对 $n$ 维欧式空间加入无穷远元素，并对有限元素和无穷远元素不加区分，则他们共同构成 $n$ 维射影空间。

一维射影空间是一条射影直线，由欧氏直线和它的无穷远点构成
二维射影空间是一个射影平面，由欧氏平面和它的无穷远直线构成
三维射影空间由我们所在的空间和无穷远平面构成

2 齐次坐标系

2.1 为什么需要齐次坐标

在欧氏空间中建立坐标系后，便有了点与坐标间的一一对应。但当引入无穷点以后，无穷远点无坐标，为了刻化无穷远点的坐标，我们引入齐次坐标。

2.2 定义

用 $n+1$ 维向量表示 $n$ 维向量。
设 $n$ 维空间的非齐次坐标为 $(x_1',\ldots,x_n')$ ，即为 $n$ 维欧式空间坐标
则 $n$ 维空间的齐次坐标为 $(x_1,\ldots,x_n,x_0)$ ，其中 $x_0$ 称为哑坐标
$x_0=0$ 时，表示的点为无穷远点

2.3 转换关系

$x_0 \ne 0$ 时， $x_1' \cdot x_0=x_1,\ldots,x_n' \cdot x_0=x_n$

2.4 直线与平面的表示

二维空间的直线
非齐次坐标： $ax_1+bx_2+c=0$
齐次坐标： $ax_1+bx_2+cx_0=0$
无穷远直线方程： $x_0=0$
三维空间的平面
非齐次坐标： $ax_1+bx_2+cx_3+d=0$
齐次坐标： $ax_1+bx_2+cx_3+dx_0=0$
无穷远平面方程： $x_0=0$

2.5 注意

$x_0$ 的取值是不唯一的，所以一个点的齐次坐标是不唯一的。即非齐次坐标与其次坐标是“一对多”的关系
当 $x_0=1$ 时齐次坐标为规格化齐次坐标

3 射影不变量

射影不变量包括交比、线束交比、简比。

3.1 交比（cross ratio）

定义共线四点 $A,B,C,D$ 交比如下：

$(A, B; C, D) = A C B C : A D B D = A C \cdot B D B C \cdot A D$ $(A,B;C,D)=\frac{AC}{BC} : \frac{AD}{BD}=\frac{AC \cdot BD}{BC \cdot AD}$
射影变换下交比不变，则

A C \cdot B D B C \cdot A D = A ' C ' \cdot B ' D ' B ' C ' \cdot A ' D '

$\frac{AC \cdot BD}{BC \cdot AD}=\frac{A'C' \cdot B'D'}{B'C' \cdot A'D'}$

交比还可以通过定义仿射坐标系，通过代数的方式来定义，此处略

3.2 线束交比

3.1的交比针对点列，点列与线束的概念如图可以反应：
线束交比由射影平面偶像性质得来。即“点”与“直线”为对偶元素，“过一点作一条直线”与“在一条直线上取一点”为对偶作图
共线的四个点有交比，根据对偶，共点的四条线也有交比。且有对应的四点与四线的交比相等，如图等式。

3.3 简比

简比已在（CV，Math）仿射几何中介绍了。

3.4 三者关系

简比 $SR(A,B;C)=\frac{AC}{BC}$
交比 $CR(A,B;C,D)=\frac{SR(A,B;C)}{SR(A,B;D)}=\frac{AC}{BC} : \frac{AD}{BD}$
线束交比 $CR(l_1,l_2;l_3,l_4)=\frac{sin(l_1,l_3)}{sin(l_2,l_3)} : \frac{sin(l_1,l_4)}{sin(l_2,l_4)}$

4 射影变换

4.1 定义

记 $S_n,S'_n$ 是两个由点组成的射影空间。 $T$ 是由 $S_n$ 到 $S'_n$ 的映射。如果 $T$ 保持:

点和直线的结合关系。即共线三点仍然共线。
共线的四个点的交比不变。

则 $T$ 被叫作 $n$ 维射影变换。 $S_n$ 与 $S'_n$ 也可以是同一空间。
此外，有定理：

保持点列的交比不变是射影变换的充分必要条件

4.2 矩阵表达

$n$ 维射影空间可用如下等式表达射影变换：

ρ y = M x

$\rho y=Mx$
其中

ρ $\rho$ 为标量比例因子，

x,y $x,y$ 为变换前与变换后齐次坐标。射影变换用

(n+1)×(n+1) $(n+1) \times (n+1)$ 维矩阵

M $M$ 表示，如下：

ρ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ y 1 ⋮ y n y 0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ m 11 ⋮ m (n + 1) 1 \dots ⋱ \dots m 1 (n + 1) ⋮ m (n + 1) (n + 1) ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 ⋮ x n x 0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

$\rho \left( \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \\ y_0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} m_{11} & \cdots & m_{1(n+1)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{(n+1)1} & \cdots & m_{(n+1)(n+1)} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \\ x_0 \end{array} \right)$

若 $M$ 的行列式非零，则 $M$ 为非退化的射影变换，否则为退化的射影变换。

4.3 其他问题

由射影变换可由矩阵表示看知，齐次坐标下，射影变换是线性的。但非齐次坐标下，射影变换是非线性。
射影变换由矩阵 $M$ 确定， $M$ 共有参数 $(n+1)^2$ 个。但 $M$ 与 $kM$ 表示同一变换(因等式两边都是齐次坐标表示不唯一)，故 $M$ 的独立参数为 $(n+1)^2-1$

4 射影、仿射、欧式空间关系

4.1 仿射变换与射影变换

仿射变换为射影变换特例，此时假设中心投影射线平行。仿射变换矩阵与射影变换矩阵也反应了这个问题，以二维空间为例，仿射变换与射影变换的矩阵的一般形式分别为

⎛ ⎝ ⎜ m 11 m 21 0 m 12 m 22 0 m 13 m 23 m 33 ⎞ ⎠ ⎟ 及 ⎛ ⎝ ⎜ m 11 m 21 m 31 m 12 m 22 m 32 m 13 m 23 m 33 ⎞ ⎠ ⎟

$\left( \begin{array}{ccc} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ 0 & 0 & m_{33} \\ \end{array} \right)及 \left( \begin{array}{ccc} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{array} \right)$

在射影几何中已证明，如果射影变换使无穷远点仍变换为无穷远点，则变换为仿射变换，以二维变换为例，若 $x$ 为无穷远点，则坐标为 $(x_1,x_2,0)$ ，仿射变换后点 $y$ 坐标为 $(y_1,y_1,0)$ ，则有:
$ρ ⎛ ⎝ ⎜ y 1 y 2 0 ⎞ ⎠ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ m 11 m 21 m 31 m 12 m 22 m 32 m 13 m 23 m 33 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ x 1 x 2 0 ⎞ ⎠ ⎟$ $\rho \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ 0 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \\ \end{array} \right)$

所以有 $m_{31}=0, m_{32}=0$

4.2 不变量

射影变换保持直线，直线与点的接合性以及直线上点列的交比不变
仿射变换除具有以上不变性外，还保持直线与直线的平行性、直线上点列的简比不变
欧氏变换除具有仿射变换的不变性外，还保持两条相交直线的夹角不变，任意两点的距离不变

参考资料：