【数学】用信息论去解决「小白鼠试毒」问题

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试毒问题非常经典，最早是在本科时候人人上看到的，是最基础的1000个试剂，有一个是有毒的，一点就会死去，而且一个小白鼠只能试一次，问最少几个小白鼠能够找出哪瓶是有毒的。后来陆陆续续又看到了一些关于这方面的题，发现这个本质上相当于信息论中关于信息编码长度的问题。

通用方法是讲试剂中哪瓶是毒品的信息总数表示出来为N，然后再找出小白鼠所能表示的状态数目为M，则需要的小白鼠个数为：$K =log_M^N$
而具体实验的操作方法为：

1. 讲每种状态按照M进制进行编码，编码长度为K
2. 每个小白鼠分别去拿自身的M中状态去实验N的M进制编码的某一位
3. 所以K个小白鼠，等同于是K长度M进制的对应的每一位
4. 这样试验完后，就确定了每一位上面的数字，找到对应的那种状态就好。

初级版问题——每只只能试一次

就是引言中说的小白鼠那个问题。
因为每个小白鼠只够去试一次，所以，每只小白鼠身上有两种状态——死亡或者存活
而试剂中有毒的信息量为1000，即每瓶试剂都有可能有毒。
所以需要的编码长度为：$log_2^1000$向上取整得到10
所以操作如下：

1. 1000瓶药二进制编码为10位数
2. 10个小白鼠分别去实验，第$i$个小白鼠去实验，编码长度下第$i$位为1（或者为0）的全部试剂
3. 根据小白鼠是被毒死还是存活，确定每一位的0/1值
4. 这样就得到了一个10位长度的二进制编码，其对应的试剂就是有毒的

中级版问题——每只可以实验多次

这个问题最早是在股社区的微博那里看到的。

10000桶酒，其中1桶是毒酒；48小时后要举行酒会；毒酒喝下去会在之后的第23-24小时内毒死人（时间确定）；国王决定用囚犯来试酒，不介意囚犯死多少，只要求用最少的囚犯来测试出哪一桶是毒酒，问最少需要多少囚犯才能保证找出毒酒？

根据题目要求，对于每个囚犯，其是可以实验24次的，即第0小时喝，然后第1小时再喝，。。。如果第K小时死亡，则是因为第K-24（上取整）小数喝的酒导致的。
这样的话，每个人就含有了25个状态，即24小时分别每个小时死亡，外加最后没有死。
所以需要的囚犯数为$log_{25}^{10000} = 3$
即将10000瓶酒按照25进制编码进行编码，是一个三位数长度的
然后三个人分别第i小时去喝对应位数上编码为i的所有酒
最后就能确定下来具体和哪一瓶酒。
股社区给了一个形象化的解释：

把酒摆成22*22*22的正方体，桶数不够空着就行，原题说喝一点就死，所以一个囚犯理论上可测试很多桶。每小时测试正方体一个面，也就是22*22=484桶，22个小时后测完所有的酒。每个囚犯从一个不同的侧面开始喝，等于是正方体的长宽高，最后三个囚犯都死了，根据死亡时间定位出那桶酒

类似的题还有知乎上的一道题：
1000桶水，其中一桶有毒，猪喝毒水后会在15分钟内死去，想用一个小时找到这桶毒水，至少需要几头猪？
即每个猪油5种状态，则5个猪即可完成编码。

高级问题——不止一瓶试剂有毒

不止一瓶试剂有毒的情况下，其实非常的复杂。
详见知乎上的这道题：
1000桶水中两桶有毒，猪喝毒水后会在15分钟内死去，想用一个小时找到毒水，至少需要几只猪？如何实现？
因为有两桶有毒，所以等于信息量为：$N = C_{1000}^2$种情况，每个猪身上有5种状态，所以最低有：$log_5^N = 9$但是这个只是理论下界，因为猪死亡是不能够区分出，是被一瓶毒药毒死的，还是两瓶毒药。
假设猪死亡的状态可以区分出来/或者两种毒药需要混合才能有毒性的话，那么做法是，将这1000瓶毒药两两混合，一共$N = C_{1000}^2$种组合，然后将这些组合按照5进制进行编码。然后9头猪就可以区分出来了。

而对于这道题的解法呢，我觉得原答案中「小河流」的答案还是解释的比较清楚的，对于不值一瓶试剂有毒的情况，就是先用交叉法再用进制法。
即10头猪每个喝100瓶，然后按照死一头还是死两头进行分开讨论。具体如下：

作者：Miss老杨
链接：https://www.zhihu.com/question/60461214/answer/176619099
来源：知乎
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我有一种用10只猪的方法:
1.给每只猪喂对应个位数编号的水，这样第一个15分钟后肯定最多死两只猪。
2.1.如果死了两只猪的话，则同时确定了两个一百桶水里有一桶水有毒。问题简化成一百桶水里有一桶有毒，试45min确定哪一桶。将剩下八只猪平均分开，利用镜像问题 @Sun AO 提供方法(即用几进制的四位数至少可以表示到100)，分别确定这桶水。因为4*4*4*4>100。两步一共需要10只猪。
2.2如果仅死一只猪的话，问题变成100桶水里一桶有毒，45min确定哪两桶。利用1思路，给剩下每头猪喂9余数的水。
2.2.1若死两只猪（此时还剩下7只猪），则问题简化成12桶水一桶有毒，试30min确定。将剩下猪分成33两组。因为3*3*3>12。
2.2.2若死一只猪（此时还有八只猪），问题变成12桶水里一桶有毒，30min确定哪两桶。利用1思路，给剩下每头猪喂8余数的水。
2.2.2.1若死两只猪（此时还有六只猪），问题变成2桶水里一桶有毒，15min确定哪两桶。
2.2.2.2若死一只猪（此时还有七只猪），问题变成2桶水里一桶有毒，15min确定哪三桶。故而此方法10只是最多的。
PS.这个问题需要找到一个平衡点:在哪一步确定出剩下的水里面肯定有且仅有一桶有毒。因为确定一桶水的位置的速度是幂数级的，而将水分开的速度是阶乘级的，所以越早分开越好。显然每次死两只猪的过程是最浪费的。所以上限应该取决于此过程。如果是九只猪的话，剩下2个112桶水被确定有且仅有一桶毒水。将猪按3只和4只分开。但3只猪最多只能表示3*3*3*3=81只。
基此方法可以一劳永逸地解决n桶水里有k桶有毒，t时间内确定出来，至少需要l只猪的问题。不过根据理论计算:1000桶水里两桶有毒一共有499500个状态。而每只猪一个小时内共有5个状态（15 30 45 60min内死和不死），l只猪一共就有5^l个状态。即5^l>499500。l>8.15。也就是说有种方法可以只用九只猪。这种方法是基于将水两两组合，给每个组合编号，然后用5位l进制数去表示这些组合。但是我觉得这个理论值偏低，因为对于猪而言分不清究竟是一桶水毒死自己还是两桶？所以1000桶水两两混合之后，有毒的组合有1999种。问题转化为499500桶水里有1999桶有毒，试一小时确定，使得问题反而复杂了。