1315：集合的划分（代码与思路详解）

1315：集合的划分

1、题目内容

1315：集合的划分

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【题目描述】
设S是一个具有n个元素的集合，S＝⟨a1，a2，……，an⟩，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，Sk ，且满足：

1．Si≠∅
2．Si∩Sj＝∅ (1≤i，j≤k，i≠j)

3．S1∪S2∪S3∪…∪Sk＝S
则称S1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1，a2，……，an 放入k个(0＜k≤n＜30)无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1，a2，……，an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。

【输入】
给出n和k。

【输出】
n个元素a1，a2，……，an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。

【输入样例】
10 6
【输出样例】
22827

2、解题思路

在这个题目中，主要采用的是递归的方法。在我们使用递归前，往往都需要寻找到递归的关系式。我们用S(n,k)来表示将n个元素放入k个盒子的方法数，首先若我们把an单独放在一个盒子里，那么此时的种类数有S(n-1,k-1)种,若我们暂时不放an，先把n-1个元素放入在k个盒子里，再将an放入，此时则有S(n-1,k)*k中方法。如此则共有S(n-1,k-1)+S(n-1,k)*k种方式将n个元素放入k个盒子。那我们结束递归的基准又是什么呢？我们想想，它会有以下几个基准，如果盒子数等于元素数，那么只有一种方法，如果只有一个盒子，那也只有一种方法，即 n==k||k==1 时 return 1；再者，我们的盒子如果个数为0了，那么方法数自然也就为0咯。

3、解题代码

#include<stdio.h>
long long S(int n,int k) //在这里头数据可能会比较大，所以用超长整型比较合适
{
    if(k==0) return 0;
    else if(k==1||n==k) return 1;
    else   return S(n-1,k-1)+S(n-1,k)*k;
}
int main()
{
    int k,n;
    scanf("%d %d",&n,&k);
    printf("%lld",S(n,k));
    return 0;
}