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二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合可以为空,或者由一个根几点和俩颗互不相交的子树组成
特点
- 每个结点最多有两棵子树,故不存在度大于
2
的结点(要和图的度分清,图是有出度和入度之分的,这里的度就是它的儿子结点) - 左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒
- 即使树中某结点只有一棵子树,也要区分是左子树还是右子树
五种基本形态
- 空二叉树
- 只有一个根节点
- 根节点只有左子树
- 根节点只有右子树
- 根节点既有左子树又有右子树
特殊二叉树
-
斜树:所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树,对应有右斜树,统称为斜树
-
满二叉树:所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上的二叉树
- 叶子只能出现在最下一层,否则不平衡
- 非叶子节点的度一定是
2
- 同样深度的二叉树,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多
完全二叉树: 对一棵具有n
个结点的二叉树按层序编号,如果编号为i(1≤i≤n)i(1≤i≤n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i
的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树
- 叶子结点只能出现在最下两层
- 最下层的叶子一定集中在左部连续位置
- 倒数二层,若有叶子结点,一定都在右部连续位置
- 如果结点度为
1
,则该结点只有左孩子,即不存在只有右子树的情况
二叉树的性质
- 在二叉树的第
i
层上至多有2i−12i−1个结点(i≥1)(i≥1) - 深度为
k
的二叉树至多有2k−12k−1个结点(k≥1)(k≥1) - 对任何一棵二叉树
T
, 如果其终端结点数为n0n0, 度为2
的结点树为n2n2, 则n0=n2+1n0=n2+1 - 具有
n
个结点的完全二叉树的深度为⌊log2n⌋+1⌊log2n⌋+1 (⌊x⌋表示不大于x的最大整数)(⌊x⌋表示不大于x的最大整数) - 如果对一棵具有
n
个结点的完全二叉树(其深度为⌊log2n⌋+1⌊log2n⌋+1)的结点按层序编号(从第1
层到第⌊log2n⌋+1⌊log2n⌋+1层,每层从左到右),对任一结点 i(1≤i≤n)i(1≤i≤n)有:- 如果
i = 1
, 则结点i
是二叉树的根,无双亲;如果i>1i>1, 则其双亲是结点⌊i/2⌋⌊i/2⌋ - 如果 2i>n2i>n, 则结点
i
无左孩子(结点i
为叶子结点); 否则即2i≤n2i≤n时其左孩子是结点2i2i - 如果2i+1>n2i+1>n, 则结点
i
无右孩子;否则2i+1≤n2i+1≤n时, 其右孩子是结点2i+1
- 如果
二叉树的存储结构
二叉树顺序存储结构
顺序存储结构一般只用于 完全二叉树,否则会造成空间浪费
二叉链表(链式存储结构)
二叉树每个结点最多有两个孩子,故结点结构为一个数据域和两个指针域
typedef struct node;
typedef node *tree;
struct node
{
int data;
tree L, R;
};
遍历二叉树
二叉树的遍历(traversing binary tree)是指从根节点出发,按照某种次序依次访问二叉树中所有结点,使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。 由前序和后序无法得到唯一二叉树
前序遍历
规则是若二叉树为空,则空操作返回,否则先返回根节点,然后前序遍历左子树,再前序遍历右子树。下图遍历顺序为ABDGHCEIF
中序遍历
规则是若树为空,则空操作返回,否则从根节点开始(注意并不是先访问根节点),中序遍历根节点的左子树,然后是访问根节点,最后中序遍历右子树。下图遍历顺序为GDHBAEICF
后序遍历
规则是若树为空,则空操作返回,否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树,最后是访问根节点。下图遍历顺序为GHDBIEFCA
层序遍历
规则是若树为空,则空操作返回,否则从树的第一层,也就是根节点开始访问,从上而下逐层遍历,在同一层中,按从左到右的顺序对结点逐个访问。下图遍历顺序为ABCDEFGHI
非递归实现四种遍历
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<map>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
typedef struct node;
typedef node *tree;
struct node
{
int data;
tree L, R;
};
int pos[] = { 7,4,5,2,8,9,6,3,1 };
int in[] = { 7,4,2,5,1,3,8,6,9 };
tree bt;
void build(tree &bt, int l1, int r1, int l2, int r2)
{
if (l1 > r1 || l2 > r2) return;
int mid = l2;
while (pos[r1] != in[mid]) mid++;
bt = new node;
bt->data = pos[r1];
bt->L = NULL;
bt->R = NULL;
build(bt->L, l1, l1 + (mid - l2) - 1, l2, mid - 1);
build(bt->R, l1 + (mid - l2), r1 - 1, mid + 1, r2);
}
void preprint(tree bt)
{
stack<tree>s;
tree p = bt;
while (p != NULL || !s.empty()) {
while (p != NULL) {
s.push(p);
cout << p->data ;
p = p->L;
}
if (!s.empty()) {
p = s.top();
s.pop();
p = p->R;
}
}
}
void inprint(tree bt)
{
stack<tree>s;
tree p = bt;
while (p != NULL || !s.empty()) {
while (p != NULL) {
s.push(p);
p = p->L;
}
if (!s.empty()) {
p = s.top();
cout << p->data;
s.pop();
p = p->R;
}
}
}
void posprint(tree bt)
{
stack<tree>s, st;
tree p;
s.push(bt);
while (!s.empty()) {
p = s.top();
s.pop();
st.push(p);
if (p->L) s.push(p->L);
if (p->R) s.push(p->R);
}
while (!st.empty()) {
cout << st.top()->data;
st.pop();
}
}
void leveprint(tree bt)
{
if (bt == NULL) return;
queue<tree>Q;
tree p;
Q.push(bt);
while (!Q.empty()) {
p = Q.front();
Q.pop();
cout << p -> data;
if (p->L) Q.push(p->L);
if (p->R) Q.push(p->R);
}
}
int main()
{
cout << "二叉树的建立,在知道后续和中序的情况下" << endl;
build(bt, 0, 8, 0, 8);
cout << "前序输出" << endl;
preprint(bt);
cout << endl;
cout << "中序输出" << endl;
inprint(bt);
cout << endl;
cout << "后序输出" << endl;
posprint(bt);
cout << endl;
cout << "层序遍历" << endl;
leveprint(bt);
}