Codeforces 1047C (线性筛+因数分解)

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题面

传送门

分析

1.暴力做法
首先先把每个数除以 $gcd(a_1,a_2 \dots,a_n )$
可以 $O(n\sqrt {a_{max}})$的时间内分解出所有数的质因数,然后统计出现次数最多的质因数,设最多出现次数为 $x$,然后把其他的数去掉就可以了,答案为 $n-x$
例:
$n=4,a=\{6,9,15,30\}$
处理后 $a=\{2,3,5,10\}$
$2=2$
$3=3$
$5=5$
$10=2 \times 5$
我们可以看出质因数2出现了2次,3出现了1次,5出现了2次
出现次数最多的质因数为2或5,均出现了2次
故答案为4-2=2

2.优化
可以看出算法的瓶颈在质因数分解,我们考虑如何优化质因数分解算法
这是一般的质因数分解算法

set<int>S;
for(int i=2; i<=x; i++) {
   while(x%i==0 &&x != i) {
   	n/=i;
   	S.push(i);
   }
   if(x == i) {
   	S.push(i)
   	break;
   }
}

该算法的时间复杂度为 $O(\sqrt x)$
问题在于该算法需要枚举能整除x的数,效率比较低,如果对于每个数x,我们知道能被整除x的最小质数minprime[x],算法的效率就可以提高了
那么如何求出minprime呢?
我们想到线性筛法的过程

for(int i=2; i<=n; i++) {
		if(!vis[i]) {
			prime[++k]=i;
		}
		for(ll j=1; j<=k&&(ll)i*prime[j]<=n; j++) {
		    minprime[(ll)i*prime[j]]=prime[j];
			vis[(ll)i*prime[j]]=1;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}

其中的每个合数只会被筛一次,而prime[j]不正好是能整除 $i\times prime[j]$的最小质数吗?
因此可以把线性筛改成这个样子

for(int i=2; i<=n; i++) {
		if(!vis[i]) {
			minprime[i]=i;
			prime[++k]=i;
		}
		for(ll j=1; j<=k&&(ll)i*prime[j]<=n; j++) {
			minprime[(ll)i*prime[j]]=prime[j];
			vis[(ll)i*prime[j]]=1;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}

我们就求出了minprime,注意若p是质数,minprime[p]=p
然后可以写出分解质因数的算法

	if(!vis[x]||x==1) {//如果是1或质数,直接返回
		cnt[x]++;
		return;
	}
	while(x>1) {
		int t=minprime[x];
		cnt[t]++;
		while(x%t==0&&x!=1) {
			x/=t;
		}

}

因为每次循环x至少要除以2,所以时间复杂度为 $O(log_2 x)$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 300005
#define maxv 15000005
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int gcd(int a,int b) {
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int n;
int a[maxn];
int vis[maxv];
int minprime[maxv];
int cnt[maxv];
int prime[maxv];
int k=0;

void sieve(int n) {
	for(int i=2; i<=n; i++) {
		if(!vis[i]) {
			minprime[i]=i;
			prime[++k]=i;
		}
		for(ll j=1; j<=k&&(ll)i*prime[j]<=n; j++) {
			minprime[(ll)i*prime[j]]=prime[j];
			vis[(ll)i*prime[j]]=1;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}
}

void div(int x) {
	if(!vis[x]||x==1) {
		cnt[x]++;
		return;
	}
	while(x>1) {
		int t=minprime[x];
		cnt[t]++;
		while(x%t==0&&x!=1) {
			x/=t;
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	sieve(15000000);
	int g=0;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		scanf("%d",&a[i]);
		g=gcd(g,a[i]);
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		a[i]/=g;
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		div(a[i]);
	}
	int ans=0;
	for(int i=2; i<=15000000; i++) {
		ians=max(ans,cnt[i]);
	}
	if(ans==0) printf("-1\n");
	else printf("%d\n",n-ans);
}