Atcoder Grand Contest 002 F - Leftmost Ball

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题意

• 给你 $n$种颜色的球，每个球有 $k$个，把这 $nk$个球排成一排，把每一种颜色的最左边出现的球涂成白色(初始球不包含白色)，求有多少种不同的颜色序列，答案对 $1e9 + 7$取模

这个题不是很好处理 但是可以发现一个性质

第 $i$个白球前面有且仅有 $i - 1$种颜色

那么我们可以设 $f[i][j]$为放了 $i$个白球, $j$种颜色的状态

每次决策可以放白球和加入一种新的颜色

如果放白球 $f_{i,j} +=f_{i - 1, j}$

如果放其他颜色的球可以用组合数计算

$f_{i, j} += C((n - j + 1) * (k - 1) + (n - i) - 1, k - 2)×f_{i, j - 1}$

因为一种颜色出现了的话当前第一个位置必须要放，剩下的随便放就可以

然后就做完了 ， $k =0$情况特判就可以了

Codes

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2010;
const int mod = 1e9 + 7;

int fac[N * N], inv[N * N], f[N][N];

int qpow(int a, int x) {
	int ret = 1;
	while(x) {
		if(x & 1) ret = (long long)ret * a % mod;
		x >>= 1, a = (long long)a * a % mod;
	}
	return ret;
}

int C(int n, int m) {
	if(n < m || n < 0 || m < 0) return 0;
	return (long long)fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}

void Init(int n) {
	fac[0] = inv[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
		fac[i] = (long long)fac[i - 1] * i % mod;
	inv[n] = qpow(fac[n], mod - 2);
	for(int i = n; i >= 1; -- i)
		inv[i - 1] = (long long)inv[i] * i % mod;
}

int main() {
#ifdef ylsakioi
	freopen("agc002f.in", "r", stdin);
	freopen("agc002f.out", "w", stdout);
#endif
	int n, k;
	Init(N * N - 10);
	scanf("%d%d", &n, &k);
	if(k == 1) return puts("1"), 0;
	f[1][0] = 1;
	for(int i = 0; i <= n; ++ i)
		for(int j = 0; j <= i; ++ j) {
			if(i) (f[i][j] += f[i - 1][j]) %= mod;
			if(j) (f[i][j] += 1ll * C((n - j + 1) * (k - 1) + (n - i) - 1, k - 2) * f[i][j - 1] % mod) %= mod;
		}
	printf("%d\n", (long long)f[n][n] * fac[n] % mod);
	return 0;
}