SPOJ Two Paths 树上不相交路径乘积最大值

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题目链接

这道题其实顺着直径往下想也不是很难

首先关于直径的证明看一下这里

我们不难想到这个题目要求的东西应该也和直径有关

如果其中一条路径是直径 那么另一条就是剩下的路径中的最大值了

如果一条不是直径 那它一定是直径的另一部分和这个点子树内一条链构成的

这个东西证明起来不是很难 因为如果一个点在直径上

那么它到直径两个端点的距离一定比它剩下的任何一棵子树内一个点的距离更大

不然的话用这个子树内那条比直径长的路径当直径肯定会更优

然后就证完了

首先从任意一个点进行 $dfs$ 求出直径 并把直径上的点存下来

对直径上每个点 $dfs$一次，找到它子树内不在直径上的距离它最远的点

然后对直径上每个点 从这个点直径分成两部分

分别找到两个包含直径的联通块的直径 把两个乘起来就可以了

Codes

#include<bits/stdc++.h>

#define pb push_back
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, dep[N], fa[N], leave;
int len[N], d[N], ind[N], cnt;
int L[N], R[N];

vector<int> G[N]; ll ans;

void dfs1(int x, int dad) {
	dep[x] = dep[dad] + 1, fa[x] = dad;
	for(auto v : G[x]) if(v != dad) dfs1(v, x);
	if(dep[x] > dep[leave]) leave = x;
}

void dfs2(int x, int dad) {
	for(auto v : G[x]) 
		if(v != dad && !ind[v]) {
			dfs2(v, x);
			len[x] = max(len[x], len[v] + 1);
		}
}

int main() {
	int x, y, tmp;
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i < n; ++ i) {
		scanf("%d%d", &x, &y);
		G[x].pb(y), G[y].pb(x);
	}
	dfs1(1, 0), dfs1(leave, 0);
	while(leave) {
		d[++ cnt] = leave; ind[leave] = true; leave = fa[leave];
	}
	for(int i = 1; i <= cnt; ++ i) {
		dfs2(d[i], 0); ans = max(ans, 1ll * (len[d[i]] - 1) * (cnt - 1));
	}
	tmp = 0;
	for(int i = 1; i <= cnt; ++ i) 
		L[i] = tmp = max(tmp, i - 2 + len[d[i - 1]]);
	tmp = 0;
	for(int i = cnt; i >= 1; -- i)
		R[i] = tmp = max(tmp, cnt - i + len[d[i + 1]] - 1);
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
		ans = max(ans, 1ll * L[i] * R[i - 1]);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}