【LOJ6039】【雅礼集训 2017 Day5】珠宝（DP，决策单调性）

Description

有 $N$ 个珠宝 , 每个珠宝价值 $C_i$ , 能产生 $V_i$ 的愉悦度 , 现在你有 $M$ 元 , 问你最多能获得多大的愉悦度 , 对于 $M \in [1, K]$ 回答问题 .
$N\le 10^6, K\le 10 ^ 4, \mathbf{C_i \le 300}$

Solution

首先可以发现 $C_i$ 比较小，我们考虑将 $C_i$ 的值进行分类，同一类的一起转移，而且被转移和转移到的状态 $\bmod C_i$ 同余。对于同一类，我们选择的珠宝一定是愉悦度从大到小排序后的前缀和。
由于是从大到小排序的，所以前缀和增长率单调递减，所以这个DP是单调的，具体证明可以参考肖大佬的博客：
https://www.cnblogs.com/ShichengXiao/p/9501386.html#autoid-9-0-2

网上似乎都是分治的做法，由于我是没脑子选手，发现这个可以直接套上二分决策范围的板子233，跟诗人小G一样的做法。
我们对于每一种 $C_i$ ，所有同余的状态一起处理即可。

Code

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 * Au: Hany01
 * Date: Aug 28th, 2018
 * Prob: LOJ6039 雅礼集训2017Day5 珠宝
 * Email: [email protected] & [email protected]
 * Inst: Yali High School
************************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef long double LD;
typedef pair<int, int> PII;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define x first
#define y second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define y1 wozenmezhemecaia

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
    static int _, __; static char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

const int maxm = 5e4 + 5, maxc = 305;

int n, m, A[maxm], N, mx, p, top, sz, pos, now, t;
LL dp[maxm], f[2][maxm];
PII stk[maxm];
vector<LL> ob[maxc];

inline bool cmp(int x, int y) { return x > y; }

inline LL calc(int i, int j) { return f[now ^ 1][A[j]] + (i - j > sz ? 0 : ob[p][i - j - 1]); }

int main()
{
#ifdef hany01
    freopen("loj6039.in", "r", stdin);
    freopen("loj6039.out", "w", stdout);
#endif

    static int wi, vi;

    n = read(), m = read();
    For(i, 1, n) chkmax(mx, wi = read()), vi = read(), ob[wi].pb(vi);

    for (p = 1; p <= mx; ++ p) {
        if (!(sz = SZ(ob[p]))) continue;
        sort(ALL(ob[p]), cmp), now ^= 1;
        For(i, 1, sz - 1) ob[p][i] += ob[p][i - 1];
        rep(j, p) {
            for (N = 0, t = j; t <= m; ) A[++ N] = t, dp[N] = f[now ^ 1][t], t += p;
            stk[top = 1] = mp(1, 1);
            For(i, 2, N) {
                chkmax(dp[i], calc(i, pos = stk[upper_bound(stk + 1, stk + 1 + top, mp(i, INF)) - stk - 1].y));
                if (calc(N, i) >= calc(N, stk[top].y)) {
                    stk[++ top] = mp(N, i);
                    for (register int l, r, mid; ; ) {
                        l = max(stk[top - 1].x, i + 1), r = N;
                        while (l < r) {
                            mid = (l + r) >> 1;
                            if (calc(mid, stk[top - 1].y) <= calc(mid, i)) r = mid;
                            else l = mid + 1;
                        }
                        stk[top].x = l;
                        if (stk[top].x > stk[top - 1].x) break;
                        stk[top - 1] = stk[top], -- top;
                    }
                }
            }
            For(i, 1, N) f[now][A[i]] = dp[i];
        }
    }
    For(i, 1, m) printf("%lld ", f[now][i]);

    return 0;
}

【LOJ6039】【雅礼集训 2017 Day5】珠宝（DP，决策单调性）

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