【数论 质数】Contest Hunter_3101 阶乘分解

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/SSL_hzb/article/details/82021276

题意

给出$N$，求出$N!$的质因子和它们的个数。

思路

如果直接分解$1\sim N$的质因子，时间复杂度很大，我们可以考虑别的做法。
因为$N!=1*2*3*...*N$，所以$N!$的质因子不会超过$N$，我们就可以先筛出$1\sim N$的质数，然后判断$N!$的质因子的个数。
$N!$中的质数$p$的个数就为$1\sim N$中包含质因子$p$的个数的和，那么显然在$1\sim N$中包含一个质因子$p$的数的个数为$\left \lfloor N/p \right \rfloor$个，然后我们可以判断含两个质因子$p$的数，那么这个的数量就为$\left \lfloor N/p^{2} \right \rfloor$。
综上所述，$N!$中质因子$p$的个数为：
$\underset{p^{k}\leq N}{\sum \left \lfloor \frac{N}{p^{k}} \right \rfloor}$

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
int n, m, v[1000001], prime[1000001], c[1000001];
void calc_prime(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!v[i]) {
            v[i] = i;
            prime[++m] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (prime[j] > v[i] || prime[j] > n/i) break;
            v[i * prime[j]] = prime[j];
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    calc_prime(n);
    for (int i = 1; i <= m; i++) 
        for (long long x = prime[i]; x <= n; x *= prime[i]) 
            c[prime[i]] += n / x;
    for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%d %d\n", prime[i], c[prime[i]]);
}