FZU-2302 Necklace（斜率优化dp）

题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2302

题目大意：给一个有n个结点的环，每个结点都有权值。现在要将这个环分为k段，每一段的价值为权值和的平方，整个环的价值为各段的价值之和。现在要求出如何分才能使整个环的价值最小。

题目思路：由于题目给出的是环，我们可以考虑枚举断点，先把环变成一条链，然后再进行dp求解。

我们现在令 $dp[j][i]$ 表示长度为 i 的链分成 j 段时最小的价值为多少， $sum[i]$ 表示前 i 个结点的权值之和。这样我们就可以得到如下的状态转移方程：

$dp[j][i] = min_{k = 1,..,i-1}( dp[j-1][k] + (sum[i]-sum[k])^2)$

但是这个状态转移方程的复杂度是 $O(n^3)$ 的，再加上枚举断点的复杂度，整体的复杂度为 $O(n^4)$ 。

这个复杂度显然是不合理的，我们现在考虑用斜率优化来降低复杂度。

解设对于 $p <k <i$ ，如果取 k 是优于 p 的话，必然满足如下条件：

$dp[j-1][k]+(sum[i]-sum[k])^2<dp[j-1][p]+(sum[i]-sum[p])^2$ ，这个式子可以转化为：

$sum[i]>\frac{(dp[j-1][k]+sum[k]^2)-(dp[j-1][p]+sum[p]^2)}{2*sum[k]-2*sum[p]}$

我们再令 $Y_{k}=(dp[j-1][k]+sum[k]^2),Y_{p}=(dp[j-1][p]+sum[p]^2)$ ， $X_{k}=2*sum[k],X_{p}=2*sum[p]$ 。

再令 $f(k,p)=\frac{Y_{k}-Y_{p}}{X_{k}-X_{p}}$ 。

所以当 $sum[i]>f(k,p)$ 时，取 k 是要优于p 的。

现在如果有 $p <k <i$ ，同时满足 $f(k,p)>f(i,k)$ ，那么 k 以后的点对于答案就无法造成更优的影响。这样我们就可以移除一些对答案无法造成更优影响的点，来降低复杂度。

接着就利用这个式子和单调队列来维护斜率即可

1、构造一个单调队列来维护前 i 个数对后续解的影响。

2、对第 i 位求解时，如果队列中存在a[1],a[2],a[3]三个元素，当 $f(a[2],a[1])<sum[i]$ 时，就说明选择a[2] 是要优于a[1]的，我们就将a1出队，直到满足 $f(a[i+1],a[i])>=sum[i]$ 时，就可以对dp值进行更新；

3、对于第 i 位的ci入队时，假设队列中从头到尾已经有元素a[1],a[2],a[2]。那么当d要入队的时候，我们维护队列的上凸性质，即如果 $f(d,a[3])<f(a[3],a[2])$ ，那么就将a[3]点删除。直到找到 $f(d,x)>=f(x,y)$ 为止，并将d点加入在该位置中。

整体的时间复杂度就降为 $O(n^3)$ 的了。

具体实现看代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define fi first
#define se second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define pb push_back
#define MP make_pair
#define lowbit(x) x&-x
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define _INF(a) memset(a,0x3f,sizeof(a))
#define FIN freopen("in.txt","r",stdin)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define debug(x) cout<<"["<<x<<"]"<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int>pii;
typedef pair<ll, ll>pll;
const int maxn = 200 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n, k, T;
int a[maxn], tmp[maxn], head, tail;
int sum[maxn], q[maxn], dp[maxn][maxn];
int get_up(int i, int j, int k) {
	return dp[i][j] + sum[j] * sum[j] - (dp[i][k] + sum[k] * sum[k]);
}
int get_down(int j, int k) {
	return 2 * (sum[j] - sum[k]);
}
int get_dp(int i, int j, int k) {
	return dp[i][k] + (sum[j] - sum[k]) * (sum[j] - sum[k]);
}
int main() {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	cin >> T;
	while (T--) {
		scanf("%d%d", &n, &k);
		for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
		int ans = inf;
		for (int f = 1; f <= n; f++) {
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				int cnt = f + j;
				if (cnt > n) cnt -= n;
				tmp[j] = a[cnt];
				sum[j] = sum[j - 1] + tmp[j];
			}
			memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
			dp[0][0] = 0;
			for (int j = 1; j <= k; j++) {
				head = tail = 0;
				q[tail++] = 0;
				for (int i = 1; i <= n; i++) {
					while (head + 1 < tail && get_up(j - 1, q[head + 1], q[head]) < sum[i] * get_down(q[head + 1], q[head])) head++;
					dp[j][i] = min(dp[j][i], get_dp(j - 1, i, q[head]));
					while (head + 1 < tail && get_up(j - 1, i, q[tail - 1]) * get_down(q[tail - 1], q[tail - 2]) <= get_up(j - 1, q[tail - 1], q[tail - 2])*get_down(i, q[tail - 1])) tail--;
					q[tail++] = i;
				}
			}
			ans = min(ans, dp[k][n]);
		}
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}

FZU-2302 Necklace（斜率优化dp）

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