简介
1977年，MIT的三位老师Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法以他们三个人的名字命名为RSA。RSA算法是使用最为广泛的非对称加密算法。 RSA加密利用了单向函数正向求解很简单，反向求解很复杂的特性。
具体是利用了：
1.对两个质数相乘容易，而将其合数分解很难。即n=p1*p2，已知p1、p2求n简单，已知n求p1、p2困难。
2.(m^e) mod n=c，已知m、e、n求c简单，已知e、n、c求m很难。
原理
RSA加密，实现了公开密钥，就是A可以给所有人发送公钥，其他人把要加密的信息用这把公钥加密后发送给A，A用私钥解密就可以获得加密的信息了。反过来，A要发送加密信息给B，只要知道B的公钥就可以了，而这个公钥是公开的。
公钥n、e的生成：随机选取两个质数p1、p2，n=p1*p2，再随机选取一个整数e，e与φ(n)互质。
加密过程：(m^e) mod n=c，其中m为原信息，c为密文，n、e为公钥。
解密过程：(c^d) mod n=m，其中d为解密密钥。
解密密钥d的求解：
(c^d) mod n=(((m^e) mod n)^d) mod n=((m^e)^d) mod n=(m^ed) mod n=m
① 根据费马定理(m^φ(n)) mod n≡1，又1^k≡1，所以(m^k*φ(n)) mod n≡1，两边同乘以m得m*((m^k*φ(n)) mod n)≡1*m，化简(m^(k*φ(n)+1)) mod n≡m
② 由①、②得ed=(k*φ(n)+1)，解得d=(k*φ(n)+1)/e。
费马定理：
若p是素数，a与p互素，则a^(p-1）≡1 （mod p）
举例
加密过程举例（1）：
1.挑选两个质数，如 p=61和 q=53
2.计算N = p*q = 3233
3.计算（p-1）(q-1) = 60*52 = 3120 【这一步可以计算（p-1）和（q-1）的最小公倍数，从而使得计算的d比较小；17关于780的模逆是413，比2753要小】
4.选择与3120互质的一个数 e = 17
5.计算得出d， 使得d是e关于3120的模逆，得出d = 2753
6.如果明文是5， 那么密文是5^17 (mod 3233) = 3086
7.解密，3086^2753 (mod 3233) = 5
关于模逆：先用“辗转相除法”…
加密过程举例（2）-中间人：
A：有一个公钥n、e。例如：3127、3。
B：有一个信息m。例如：89。
C：偷听者
A：
第一步：随机找两个质数p1、p2，一个奇数e。例如：53、59、3。
第二步：计算n=p1*p2得到n，计算欧拉函数φ(n)=(p1-1)*(p2-1)得到φ(n)，计算钥匙d=(k*φ(n)+1)/e得到d。
例如：53*59=3127、(53-1)*(59-1)=3016、(k*φ(n)+1)/e=(2*3016+1)/3=2011。
第三步：发送n、e给大家知道 //n、e就是公钥，d就是密钥。
C：获得n、e
B：
第一步：获得n、e
第二步：加密信息m，(m^e) mod n=c，获得加密信息c。例如：(89^3) mod 3127=1394。
第三步：发送c给A
C：
第一步：截获加密信息c
第二步：破解信息c，此时C只有n、e、c，只有把n分解质因数才能破解，而此分解很困难特别是当n很大的时候。
A：
第一步：收到加密信息c
第二步：解密信息c，(c^d) mod n=m，获得信息m。例如：(1394^2011) mod 3127=89。
完成
安全性
为什么RSA是不会被破解的呢？
为了解密，关键是要找出私钥。如果已知（p-1）(q-1)，那么就很容易算出来私钥。而为了获得（p-1）(q-1)，就需要知道p和q的值。为了获得p和q的值，就必须对N进行因式分解。
1874年，William Stanley Jevons就在自己的书《科学的原则》中写道：
读者中有人能发现是哪两个数的乘积为8616460799吗？我想这个答案只有我自己知道。
书中他描述了单向函数（one-way function）与密码学的关系，还提出了因子分解问题可以用作创建trapdoor函数。
到目前为止，关于RSA可靠性的描述：
对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。
RSA的正确性：
可以使用欧拉函数和欧拉定理来证明。
（这个证明还必须补充一部分就是m和n不互质的情况。欧拉定理只是在m和n互质时才有用。）
如果 m 和 n 不互质，因为 n 是两个质数 p 和 q 的乘积，所以 m 必然是 p 或 q 的倍数（因为要求 m<n ）。假设 m=kp 。
此时 m^{ed}=(kp)^{ed} ; 因为 p、q 互质，所以由费马小定理可知： (kp)^{ed}\equiv(kp)^{a(p-1)(q-1)+1}\equiv(kp)(mod q)
改写一下这个式子：
(kp)^{ed}=b*q + kp ；
因为等式左右两边都是 p 的倍数，所以等式右边的一项 b*q 必然也是 p 的倍数。
所以等式可以改写成
(kp)^{ed}=c*p*q + kp
而 n=p*q ，所以上式左右两边同时对 n 求模，可以得到
(kp)^{ed}\equiv kp(mod n)
得证。
那么问题来了，如果黎曼猜想真的被证明了，那么RSA算法的可靠性是否会成空中楼阁呢？
应用
RSA的应用：数字签名
最普遍的应用，网站身份认证。如何证明我们连上的网站就是支付宝alipay呢？如果因为各种原因，如域名污染，我们的浏览器访问了攻击者网站，这时一定要进行验证。
验证，就是要检查一个证书。当我们以HTTPS的方式连上一个网站时，网站会首先给我们发送一个证书。这个证书里包含有它的域名、公钥等信息。同时这个证书是由专门的第三方公信机构CA使用自己的私钥签了名的。浏览器在拿到这个证书之后，首先用第三方公信机构CA的公钥对这个证书解密，然后查看和比对证书里的域名和浏览器地址栏的域名，完全匹配才认为是正确的网站。
如果域名被污染，虽然攻击者网站可以拷贝一份正常网站的证书，但是因为证书中包括了正常网站的公钥，如果它不能获得正常网站的私钥，那么它就没有办法对加密信息进行解密。从而不能正常建立连接。
参考链接：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/44660264
https://www.zhihu.com/question/25038691
这篇关于RSA算法的文章很不错：
https://blog.csdn.net/qwe6112071/article/details/53576584