【数学】线性代数

0x01 行列式的计算

1. 某行(列)加上或减去另一行(列)的几倍，行列式不变。
2. 行(列)乘k，等于k乘此行列式。
3. 互换两行(列)，行列式变号。

0x02 计算的题型和套路

1. 只有两个数字, 对角线是一个: 套公式 $(x-a)^{n-1}[x+(n-1)a]$

2. $x^{0}, x^{1}, x^{2} … x^{n-1} = (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})…(x_n-x_1)*(x_{n-1}-x_{n-2})…*_(x_{n-1}-x_1)*...$

3. 两行(列)相同或成比例时, 行列式为0。以及某行(列)为两项相加减时，行列式可拆成两个行列式相加减。

4. 求余子式M和代数余子式A(要乘以-1的行加列次方)

5. $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+…+a_{in}A_{in} (第i行)$

6. 多个A或M相加减: 把M换成A, 找到对应A的位置, 用系数替换, 计算行列式。

7. 给一组方程组，判断解的情况： 计算系数组成的行列式

   方程组	D!=0	D==0
   其次	只有一组零解	有零解与非零解
   非其次	只有一组非零解	有多个解或无解

0x03 矩阵运算上

1. 矩阵加减
2. 矩阵相乘，前行乘后列
   1. 零矩阵，全为零的矩阵。 任何矩阵乘零矩阵都是0。
   2. E矩阵，对角线为1其余全为0。任何矩阵乘E矩阵都是本身。E*E=E。
   3. AB与BA未必相等。矩阵相乘有顺序。
   4. AX=AY不能推出X=Y。矩阵没有除法。
   5. $(AB)^k != A^kB^k$。这个不能展开。
   6. $A^2+2AB+B^2不能合并成(A+B)^2$，十字相乘同理。如果B为E则该条成立。
3. 矩阵取绝对值。矩阵变成行列式。。。以及 $|\lambda A|=\lambda^n|A|$

0x04 矩阵运算下

1. 矩阵转置。先用行乘列+ $(AB)^T=B^TA^T$ + $|A^T=A|$
2. 证明矩阵可逆。为方正(行列数相同)+|A|!=0(或者存在B使得AB=E或BA=E)
3. 求逆矩阵，把(A:E)变成(E:B),则B就是A的逆矩阵。
4. 利用 $A*A^{-1}=E$来计算
5. A的伴随矩阵 $A^*A=|A|E$或 $AA^*=|A|E$
6. 求矩阵的秩即R(A),进行行变换，使下行左端的0比上行多，直到下面全为0为止
7. 已知秩，求未知数：不管未知数先变成0。

0x05 向量组与线性空间

1. 某向量是否可由其他向量表示： $A=(a_1,a_2,a_3), B=(a_1,a_2,a_3,b), if R(A)==R(B)ok,else not ok$
2. 某向量组是否线性相关：若R(A)<向量个数则线性相关，若R(A)=向量个数则无关。 $A=(a_1,a_2,a_3,a_4)$。 存在一组可由其他向量表 示的。
3. 已知一组基底，求某一向量在此下的坐标。待定系数法设方程并带入。
4. 求行向量的极大无关组。先编号，然后求秩(若交换两行则编号也要交换)，最后取秩的个数个编号为答案。

0x06 解方程组

1. 判断方程组有无解
2. 解方程组
3. 求方程组通解，特解，基础解系。
4. 已知某方程组的特解，求某其次方程组的通解
5. 已知某方程组的特解，求某其非齐次方程组的通解
6. 集合中线性无关的解向量个数

0x07 方正对角化及应用

1. 规范正交化
2. 求矩阵特征值：满足 $|A-\lambda E|=0$的 $\lambda$即为特征值
3. 求矩阵特征向量：(A- $\lambda$E)x=0的通解
4. 方阵与对角线相似或 $P^{-1}AP=A$：方阵向量个数等于方阵阶数
5. 求方阵的对角阵A和可逆变换矩阵P
6. 求方阵的复杂式子。

0x08 二次型

1. 对应的系数矩阵，套公式
2. 化成标准型
3. ​