线段树-区间的交

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区间的交

题目来源

孙耀峰Segment_Tree.pdf 原创

题目描述

• 给定 $n$个区间, $[l_i,r_i]$,可以选出其中一些区间,设选出 $tot$个,令 $x$表示这 $tot$个区间交的长度.
• 求 $min\{x,tot\}$
• $n \le 10^5,1 \le x_i \le y_i \le n$

题目解答

我们发现当 $tot$增大时 $x$会减小,具有单调性.

我们把线段看成是平面上二维的点 $(l,r)$.

那么我们考虑从小到大枚举线段的交的右端点 $R$,如果,交线段的长度为 $x$,那么交线段左端点就是 $L=R-x+1$,而所有包含这个交线段的线段(此时被表示成了数点)我们可以用一颗线段树来维护,因此我们可以很快的在线段树上找到所有 $l \le L 且 r \ge R$的点的个数,这些个数就是 $tot$.

考虑到 $x = R-L+1$是一个关于 $L$减函数,而 $tot$则是关于 $L$的增函数.
也就是说,随着 $L$的增大, $x$在增大, $tot$在减小,则显然答案 $min\{x,tot\}$在满足 $x \le tot$最大的 $L$时取得最大值 $tot$.

考虑到单调性,我们使用二分法,可以很快的找到对于一个 $R$,满足 $x \le tot$最大的 $L$.

原题解

下面是孙耀峰聚聚的题解