- 题目描述
首先分析下n的阶乘的规律：
- 题目分析
| 阶乘 | 结果 |
| 1！ | 1 |
| 2！=1*2 | 2 |
| 3！=1*2*3 | 6 |
| 4！=1*2*3*4 | 24 |
| 5！=1*2*3*4*5 | 120 (1个0) |
| 6！=1*2*3*4*5*6 | 720 (1个0) |
| 7！=1*2*3*4*5*6*7 | 5040 (1个0) |
| 8！=1*2*3*4*5*6**7*8 | 40320 (1个0) |
| 9！=1*2*3*4*5*6*7*8*9 | 362880 (1个0) |
| 10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 | 3628800 (2个0) |
| 11!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11 | 39916800 (2个0) |
| .............. | ............ (2个0) |
| 15! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15 | 1307674368000 (3个0) |
| ............ | ............ |
| 20!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20 | (4个0) |
| 以此类推 | 依此类推 |
故可发现规律：
（1）对于 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、............(&&&&)
可知上述数列，每个隔5个数的阶乘后的结果，尾部零的个数会增加一个，即在
5.....10......15......20......25.......30....35......40.......45.......50......55......60......65......70......75.....80.......85.......90......100.........(*****)
这些数字均满足 5*k 的数字。则在阶乘数n之前，利用公式：数量 n1 = n/5，则可知在阶乘数n之前，有n1个上述类型的数字。
例如： n = 56
则在56之前应该是5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，
共56/5=11个数满足上述数字特征要求。
（2）将(****)处的特征数字可以再进行规律寻找，可以化成
即为： 5*（1、2、3、4、5、6、7、8、................）
此处可以提一个5出来，说明对应的每个阶乘尾部至少都可达到有一个0；
括号中的数字1、2、3、4、5、6、7、8、..............又满足（1）中的分析过程，对于(&&&&)中的原始数据，可以再次提出5的数字有：
........、25、.......、50、........、75、..........、100、..........、125、...........、150、..........、175、........
即为：5*5*（1、2、3、4、5、6、7、8、....................）
此处可以提两个5出来，说明对应的每个阶乘尾部至少都可达到有两个0；
括号中的数字1、2、3、4、5、6、7、8、..............又满足（1）中的分析过程，对于(&&&&)中的原始数据，可以再次提出5的数字有：
......、125、........、250、.......、375、........、500、.......、625、........、750、..........
即为：5*5*5*（1、2、3、4、5、6、7、8、................）
此处可以提三个5出来，说明对应的每个阶乘尾部至少都可达到有三个0；
依次类推：
故可设计程序如下：
//迭代版本
class Solution {
public:
/*
* @param n: A long integer
* @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
*/
long long trailingZeros(long long n) {
// write your code here, try to do it without arithmetic operators.
long long num = 0;
while(n)
{
num += n / 5; //将符号左边的值与右边值相加再赋值给左边
n = n / 5;
}
return num;
}
};代码分析：
- 先定义0的个数计数变量num，赋初始值为0，使用while循环语句，若满足继续，不满足跳出，输出计数值num。
例1：计算 4！ 中尾数0的个数 4！=24
n=4，进入while循环，执行第一条语句：4 / 5 = 0，故 num = 0 + 4 / 5 =0+0=0 ；执行第二条语句：n = 4 /5 =0
故调出循环，输出num=0.阶乘尾部没有0.
例2：计算14！中尾数0个数 14！=87178291200
n=14，进入while循环，执行第一条语句：14 / 5 = 2，故 num = 0 + 14 / 5 =0+2=2；执行第二条语句：n = 14 /5 =2；
继续执行while循环，执行第一条语句：2/ 5 = 0，故 num = 0 + 2/ 5 =0+0=0；执行第二条语句：n = 2/5 =0；故调出循环，输出num=2。阶乘尾部有两个0.
- 时间复杂度分析
题目要求我们时间复杂度为O(logN)，在算法中，每次循环均有除以5的操作，故每次循环数据量缩减为原来的1/5，所以可以推出满足时间复杂度。