Leetcode 920：播放列表的数量（最详细的解法！！！）

你的音乐播放器里有 N 首不同的歌，在旅途中，你的旅伴想要听 L 首歌（不一定不同，即，允许歌曲重复）。请你为她按如下规则创建一个播放列表：

每首歌至少播放一次。
一首歌只有在其他 K 首歌播放完之后才能再次播放。

返回可以满足要求的播放列表的数量。由于答案可能非常大，请返回它模 10^9 + 7 的结果。

示例 1：

输入：N = 3, L = 3, K = 1
输出：6
解释：有 6 种可能的播放列表。[1, 2, 3]，[1, 3, 2]，[2, 1, 3]，[2, 3, 1]，[3, 1, 2]，[3, 2, 1].

示例 2：

输入：N = 2, L = 3, K = 0
输出：6
解释：有 6 种可能的播放列表。[1, 1, 2]，[1, 2, 1]，[2, 1, 1]，[2, 2, 1]，[2, 1, 2]，[1, 2, 2]

示例 3：

输入：N = 2, L = 3, K = 1
输出：2
解释：有 2 种可能的播放列表。[1, 2, 1]，[2, 1, 2]

提示：

0 <= K < N <= L <= 100

解题思路

大家首先应该可以想到的解法就是将所以的集合都找出来，然后对这些集合中相同元素的位置比较，如果位置<k，那么就剔除，最后剩下的就是我们需要的解。这种暴力解法思路很简单，但是实际操作起来并不容易，而且速度也很慢。

这个问题可以通过动态规划的方法解决。我们定义函数f(n,l,k)表示n首歌填充l个位置，相同歌的间隔超过k。那么，我们对于第l个位置来说只有两种情况

之前没有相同的歌，也就是说n-1首歌填充了前面l-1个位置，即f(n-1,l-1,k)
之前有相同的歌，也就是说n首歌填充了前面l-1个位置，即f(n,l-1,k)

对于第一种情况，因为有n首歌，所以会出现n次。而对于第二种情况，由于相同的歌不能间隔k，所以会出现n-k次，那么

f(n,l,k)=f(n-1,l-1,k)*n+f(n,l-1,k)*(n-k)

接着我们考虑边界条件：当n==l时，即为全排列，也就是n!种；当i<=K的时候，解不存在，很好理解；当n==K+1时，也是全排列，因为此时最后一首歌会和第一首歌相同。

class Solution:
    def numMusicPlaylists(self, N, L, K):
        """
        :type N: int
        :type L: int
        :type K: int
        :rtype: int
        """
        mem = [[0]*(L+1) for _ in range(N+1)]
        for i in range(K+1, N+1):
            for j in range(i, L + 1):
                if i == j or i == K + 1:
                    mem[i][j] = math.factorial(i)
                else:
                    mem[i][j] = mem[i-1][j-1]*i + mem[i][j-1]*(i - K)

        return mem[N][L]%(10**9 + 7)

reference:

https://leetcode.com/problems/number-of-music-playlists/discuss/178415/C++JavaPython-DP-Solution

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题，希望大家指出！！！

Leetcode 920：播放列表的数量（最详细的解法！！！）

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