【思维题】【组合数】【数学】AGC018 E —— Sightseeing Plan

~~看官方题解都理解了半天真的能够在考试时间内做出来吗~~

题意可以抽象为有三个矩形,分别从中选出一个点为A,B,C,要求A->B->C总的方案数.
直接暴力枚举然后计算肯定不可行的,需要想方法进行转换.
定义F(x,y)为(0,0)到(x,y)的方案数,则 $F(x,y)=C_{x}^{x+y}$ ,然后发现 $F(x+1,y)=\sum_{j=0}^{y} F(x,j)$ .可以理解为位置(x,j)移动到(x+1,j)然后移动到(x+1,y).
然后可以推出, $\sum_{i=x1}^{x2} \sum_{j=y1}^{y2} F(i,j)=F(x2+1,y2+1)-F(x2+1,y1)-F(x1,y2+1)+F(x1,y1)$
这个就是一个普通的容斥原理.那么问题就可以转换为从四个点出发,经过一个矩阵,到达终点的四个点的方案数.枚举起点和终点计算这种情况对于答案的贡献即可.
然后考虑中间那个矩阵怎么计算.
已知我们一定是从左边和下边的边进去,从另外两条边出来,所以就分开枚举算贡献.

具体细节看代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN=2e6+5;
const int MOD=1e9+7;

int x3,y3,x4,y4;
ll fac[MAXN],finv[MAXN];

void Init(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<MAXN;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    finv[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++) finv[i]=(MOD-MOD/i)*finv[MOD%i]%MOD;
    finv[0]=1;
    for(int i=1;i<MAXN;i++) finv[i]=finv[i]*finv[i-1]%MOD;
}

ll F(int x1,int y1,int x2,int y2){return 1ll*(fac[x2-x1+y2-y1]*finv[x2-x1]%MOD)*finv[y2-y1]%MOD;}

struct node{
    int x,y,k;
}a[4],b[4];

ll sol(node p,node q){
    int x1=p.x,y1=p.y,x2=q.x,y2=q.y;
    ll res=0;
    for(int i=x3;i<=x4;i++) res=(1ll*res+1ll*(F(x1,y1,i,y3-1)*F(i,y3,x2,y2)%MOD)*(-i-y3)%MOD)%MOD;
    for(int j=y3;j<=y4;j++) res=(1ll*res+1ll*(F(x1,y1,x3-1,j)*F(x3,j,x2,y2)%MOD)*(-j-x3)%MOD)%MOD;
    for(int i=x3;i<=x4;i++) res=(1ll*res+1ll*(F(x1,y1,i,y4)*F(i,y4+1,x2,y2)%MOD)*(i+y4+1)%MOD)%MOD;
    for(int j=y3;j<=y4;j++) res=(1ll*res+1ll*(F(x1,y1,x4,j)*F(x4+1,j,x2,y2)%MOD)*(j+x4+1)%MOD)%MOD;
    return res;
}

int main(){
    Init();
    int x1,x2,x5,x6;
    int y1,y2,y5,y6;
    scanf("%d%d%d%d%d%d",&x1,&x2,&x3,&x4,&x5,&x6);
    scanf("%d%d%d%d%d%d",&y1,&y2,&y3,&y4,&y5,&y6);
    a[0]=(node){x2,y2,1},a[1]=(node){x2,y1-1,-1},a[2]=(node){x1-1,y2,-1},a[3]=(node){x1-1,y1-1,1};
    b[0]=(node){x6+1,y6+1,1},b[1]=(node){x6+1,y5,-1},b[2]=(node){x5,y6+1,-1},b[3]=(node){x5,y5,1};
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<4;i++)
        for(int j=0;j<4;j++)
            ans=(1ll*ans+1ll*(a[i].k*b[j].k)*sol(a[i],b[j])%MOD)%MOD;
    printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
}

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