本节是网易公开课上的麻省理工大学线性代数课程第五节: 转置-置换-向量空间R 的学习笔记。
本篇主要讲解 转置、置换矩阵、向量空间和子空间。
之前我们遇到的消元矩阵都不需要通过行互换,但不是所有的矩阵排序都这么好。如果消元矩阵进行消元时,如果碰到了主元为0,则必须通过行互换来解决。这时
转置、置换矩阵
转置矩阵
矩阵的转置公式如下:
直白的说,就是行的元素和列的元素互换了。例如:
置换矩阵
置换矩阵是指行重新排列的单位矩阵,其实单位矩阵就是一个特殊的置换矩阵。
nxn阶的互换矩阵个数为:
置换矩阵都是可逆的,并且它的逆矩阵等于它的转置(
对称矩阵
对称矩阵表示矩阵转置后还等于本身的矩阵。即
上面讲了转置等于逆的置换矩阵,但是置换矩阵并不常见,但转置等于本身的对称矩阵还是很常见的。
我们很容易构造一个对称矩阵,例如:
使用
其实,对于任何
向量空间
向量有什么运算呢?向量可以进行数乘,例如
什么是向量空间呢?这儿的“空间”表示有很多向量(但并不是任意向量的组合),必须满足一些具体规则,必须进行加法和数乘两种运算,必须能够进行线性组合。
整个平面则是
同样简单的还有
向量空间必须对数乘和加法运算是封闭的。
假设向量空间
上图中过原点的一条直线(实线)其实就是
-
R2 (即本身,最大的向量子空间) - 过原点的直线
- 零向量(最小的向量子空间)
同理,
-
R3 (即本身,最大的向量子空间) - 过原点的平面
- 过原点的直线
- 零向量(最小的向量子空间)
从矩阵中构建子空间
### 通过列向量构造
假设矩阵A为:
它的每列向量均属于