散度divergence,顾名思义,是指一个向量场发散的程度。一个向量场 的散度是一个标量场(向量场的每一点有一个自己的散度),写作 (这个写法也很直白,因为点乘就是标量)。如果一个点的散度为正,那么在这一点上 有向外发散的趋势;如果为负,那么在这一点上 有向内收敛的趋势。
旋度curl则指一个向量场旋转的程度。一个向量场 的旋度是一个向量场(向量场的每一点有一个自己的旋度,而且是一个向量;这是因为旋转的方向需要标明出来),写作 (这个写法也很直白,因为叉乘就是向量)。如果一个点的旋度不为0,那么在这一点上 有漩涡的趋势,而这个旋度的方向表明了旋转的方向。
举些例子,以下是两个向量场的例子。其中第一个向量场往外发散,但完全没有旋转扭曲的趋势;第二个向量场形成了一个标准的漩涡,但没有任何箭头在往外或往里指,没有发散或收敛的趋势。
散度不为0、但旋度为0的向量场:
↖ ↑ ↗
← · →
↙ ↓ ↘
旋度不为0、但散度为0的向量场:
↗ → ↘
↑ · ↓
↖ ← ↙
因此,如你所见,散度和旋度描述的都是非常直观的几何性质。只要知道一个向量场的散度和旋度,我们就可以唯一确定这个向量场本身(这是亥姆霍兹定理,我要是有兴致可以以后简单谈谈)。
麦克斯韦方程组的微分形式,就是要描述电磁场的散度和旋度。我前边说到,微分形式和积分形式是完全等价的,我很也可以很轻松地从一个形式推导出另一个形式,用的是高斯定理(不要和高斯定律混淆、又叫散度定理)和斯托克斯定理。
高斯定理Gauss's Theorem:一个向量场 在闭合曲面 上的通量,等于该曲面包裹住的体积 里的 全部的散度( 的散度的体积积分)。这是可以想象的,毕竟通量就是在计算有多少场从这个闭合曲面里发散出去了,也就是总共的散度(散度的积分)。
斯托克斯定理Stokes' Theorem:一个向量场 在闭合曲线 上的环量,等于该曲线环住的曲面 上的 全部的旋度( 的旋度的曲面积分)。这也是可以想象的,毕竟环量就是在计算有多少场和这个环方向一样(有多少场在沿着这个环旋转),也就是总共的旋度(旋度的积分)。
总结如下表:
曲面积分 曲线积分
积分形式 通量 环量
联系 高斯定理 斯托克斯定理
微分形式 散度 旋度