停课期间-考试总结Ⅱ

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距离noip(退役)还有四十多天吧，时间不多了。

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10.3

贪心题做得我头痛，好吧，这种思维题向来都是我的弱项。

• 区间相交问题
  额，基于对于此类贪心题的基本印象，果断按照右端点从大到小排序，然后 $GG$(幸好贪心还给分)
  正解是从小到大排序，一路推过去
• 任务时间表问题
  也算是一道经典的题目，按照惩罚重的有限完成
• 非单位时间任务安排问题
  上一题的升级版。
  其实考场上有想到类似dp的思路，然而…貌似又忘了。
  先按照时间限制排序，然后直接枚举就行了（也不能完全算dp吧）
• 多元 Huffman 编码问题
  数据貌似有点问题。
  合并果子的升级版。
  最小值的话，每次最小的 $k$个合并即可。
  最大值的话，每次只合并两个。
• 登山机器人问题
  这题就当我眼瞎吧，有看漏条件了（每个机器人至少走一步）
  先处理出每个机器人走一步的代价，然后每次取最小即可
• 可重复最优组合分解问题
  头痛的题，经过一段玄学的分析(表示这一题我不做太多的要求，随缘吧)可以得出：尽量分解成 $5$，然后根据其余数分类讨论吧，差不多 $O(1)$

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10.4

算是一套模拟题吧，题目略水，然而最后一题连搜索都没打，直接水部分分去了（ $k = 1$和 $k = 2$的情况）。

• 进制转换
  算是一道水题吧，如果理解了进制转换的原理，那么直接上就行了。
  注意 $0$的情况
• 方格取数
  一道很经典的 $dp$题，四（三）维dp。
• Car的旅行路线
  重点在于建图，有点难码（看着就心累）。剩下的交给最短路就行。
• 矩形覆盖
  为什么我第一感觉动归？？？
  由于数据范围很小，所以直接搜索就行了。枚举每个点属于哪个矩形，一路扫过去。

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10.4–NOIP提高组模拟赛Day2

晚上找不到事做，于是去水了一下比赛。感觉还行，有数据结构题比较合我胃口。

• Agent2
  区间修改加上单点查询，直接树状数组就好了。如果不放心的话，可以加上离散化先。
• Portal2
  一道模拟题。题目描述的感觉太强烈了，总是让人想到了栈，于是直接上吧（其实看到 $move$操作的时候是有点虚的）。
  其实晚上回寝的时候突然醒悟，不是可以用双向链表（一个正一个反，方便 $move$操作）么。。。
• War2
  看到题的第一眼感觉像是个图，往后瞄一眼数据范围（ $N \leq 18$），果断状压 $DP$
  PS：考试的时候犯傻了，没事排了个序。实际上，对于状态的枚举直接从 $0 \to 2^k$就行了。刷表法的话，某位加上 $1$绝对比原数大；填表法的话，某位去掉 $1$绝对比原数小。

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10.5

题目还行吧，就是有点暴力（话说零几年的题怎么就这么暴力呢）。
数据还是有点水的，有点运气的成分。

• 神经网络
  拓扑排序，直接过去就行了。（试卷题目的范围有误）
• 侦探推理
  毒瘤的码农题，本来思路应该谁对的，但是由于时间关系，就直接骗分了（只完成了读入）
  $string$和 $stringstream$还是挺好用的。
  思路其实很简单，同时枚举凶手和星期就行了，然后根据说谎人数来判断。
• 加分二叉树
  典型的区间 $DP$，略
• 传染病控制
  只能说人品好吧，贪心骗了 $90$分。（有反例）
  不过正解也挺简单的，就是直接枚举每层删哪条边。

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10.6

一道毒瘤的字符处理题，一道玄学的结论题？？？
还有被 $sort$坑的 $80$分

• 能量项链
  区间DP的标准模板
• 虫食算
  按照运算的顺序开始搜，每填完一个数后，往后扫一遍，看看是否有明显的错误。
• 过河
  被排序给坑死了。
  本来是一个很简单的动归，但由于范围很大，因此考虑一下特殊处理。
  不难得出这么一个结论：当 $S != T$时，最多往后走 $90$格后，就能到达任意点（极限情况 $S = 9, T = 10$）
  因此，若两点间的距离大于 $90$，直接改成 $90$即可，注意 $S == T$时特盘
• 篝火晚会
  一道神奇的结论题？（表示不会证明，貌似要扯到置换群去了）
  然而，我题意都弄错了（不一定要选择连续的）。
  求出目标的环还是挺简单的，主要是求最小的代价。
  结论:将序列 $A_i$转化成 $B_i$的最小代价为 $A_i$与 $B_i$在对应位置上不同的个数。
  当然，仅仅靠上述的结论是不够的，由于时环形，时间复杂度为 $O(n^2)$
  考虑下优化：不难发现，无论从哪里断开，与对应点间距离相同的点是不变的，也就是说，同时匹配的点是确定的。于是，直接记录距离相同点集的最大值。注意正序倒序都要来一遍。
• 等价表达式
  思路有点奇妙，通过将 $a$赋值来简化（赋一两个就行了），将其转化为表达式求值，用求出来的数值判断即可。（考虑取模，取模的话，统一变成正数）

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10.7

难得题目没看错。
整体来说还是可接受的（都做过几遍的题了）

• 金明的预算方案
  有依赖型的背包，分类处理成分组背包即可
• 树网的核
  两边 $dfs$求出最长链，尺取法扫一遍求最小值
• 传纸条
  典型 $dp$，跳过
• 序关系计数问题
  第二类斯特林数的变形。允许空箱且箱子不同(本题中 $n = m$)
  $ans = \sum_{i = 1}^{n}i! \times s[n][i]$
• 商店购物
  搜索水了点分。
  由于商品的种类不超过五，所以可以考虑转化为用五维 $dp$。将商品的需求量看做背包（没有的视为 $0$），优惠方案（单价也可以算是一种）看做物品，然后做完全背包即可。

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10.8

恭喜被虐（ＱＡＱ）
该错的不该错的全炸。

• 覆盖问题
  考场上推了个诡异的记忆化，结果。。。（考场上还写错了，乘法原理果断写成了加法）
  正解其实很简单，一个格子一个格子地搜就行了，遇到空格就枚举放的方式。
• 解集个数
  被精度给坑了，要实时地记录分子与分母（ $\frac{p1}{p2}$）。
  最后一个分数的判定：前 $n-1$个分数的和满足 $p1+1==p2$即可
  剪枝：枚举顺序非降；若此后每个都取最大值仍小于 $1$，减掉；若此后每个都取最小值还大于 $1$，减掉。
• 黑白棋游戏
  本来是一道很水的题，结果一发迭代加深直接炸了。
  其实只要广搜就好了。
• 家族史图
  题目描述有点毒瘤，考场上直接略过去了。
  感觉像是一个模拟题。
  其实只要按照题目的要求判断即可，就是有点复杂。
  要点：记录入度判断儿子的合法，用弗洛伊德之类的处理父母的联通，用层数判断后代。
• 单词游戏
  给人的感觉就是搜索，然后 $TLE \cdots$
  $n$的范围很小，于是可以考虑用状压解决。
  有点类似与哈密顿路的解法，令 $f[s][i]$表示在走过状态为 $s$的边，且最后位于 $i$点后的最大复杂度。（对于单词的索引，其实可以建图）

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10.9

当水题遇上水笔？？？最简单的两题都写挂了，，，

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• 小木棍
  不想说了，连最基础的剪枝都忘了，，
• 邮票问题
  利用dp来优化枚举的范围，每层都要求一遍dp
• 魔板
  这题还算友好不要求最小方案数（噩梦）
  首先枚举目标行的第一列与初始行的哪一列相匹配（用行变换来实现同化），至此，行就确定了下来。随后用 $dfs$判断其他行是否匹配就行
  （可以记录行列中 $1$的个数来优化）
• 方程的解数
  其实考场上的想法离正解很近了。
  正解是分成两块搜，用前一半的值匹配后一半的值；而我则考虑按照系数的正负分
  搜索很简单，只要写个 $hash$和快速幂就行了
• 算符破译
  珍爱生命，远离工业。（当然，用不着 $600$行的，两百多就差不多了）
  最后一个点五秒多就算了（然而 $bzoj$上 $30sed$）
  调个一个下午的题，看来码力是真的不够啊。
  思路还是比较容易想的，先确定符号，再确定数字。
  剪枝：
  　　三重循环先枚举出符号（顺便判断可行性： $=$的唯一性，符号的位置，在符号制约下是否能填数字）；
  　　利用位运算优化枚举（值得学习）；
  　　边枚举数字边判断（类似虫食算）

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10.10—搜索专题考试总结

这两天考的算是很渣的了。有点头痛。
　　首先，做题时思路有点紊乱。无论是做过的部分题目，还是有些许思路的题。都存在接近正解却失之交臂的情况，而且有时候还是十分明显的细节；其次，是缺乏分析复杂度的能力，这也是一直以来我所欠缺的。事实上，这一点尤为重要，做题时应该要有一个整体的框架，明确题目的数据范围以及解法的复杂度范围。这样才能较快地选择较为便捷的算法，进行有效的优化。
　　对于第一点而言，没什么可说的，无非就是考试时要注意。对于第二点，考虑抽时间做做相关的整理吧。

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10.11

dp专题，题目难度海星，都有一点思维难度。

• 三角形牧场
  直接求的话是不可能的，考虑用dp判断可行性，最后通过海伦公式计算求得答案。
  令 $f[a][b]$表示是否可以组成边长为 $a,b,sum-a-b$的三角形。
• 多米诺骨牌
  记录差值，令 $f[i]$表示差值为 $i$的最小翻转次数。
  注意 $i$可以为负数，所以统一加上一个值变为非负
• 最长上升子序列
  由于必须要包含第 $m$个数，所以考虑以m为界，将数列分成两部分，分别求一次 $LIS$，然后接上即可。
  优化：在 $m$前面且数值大于 $m$的与在 $m$后面且值小于 $m$的均可忽略。
• 修剪草坪
  考场上其实都推出来了，单调队列也写好了，然而，边界写挂了 $QAQ$
  令 $f[i]$表示前 $i$头牛中选取的最大效率，则
  $f[i] = max(f[j - 1], sum(j + 1, i))$, 其中 $j$为断点且 $j \in [i - k - 1, i]$
  用前缀和表示： $f[i] = max(f[j - 1] - s[j]) + s[i]$
  考虑到数据范围，用单调队列优化即可
• A Simple Task
  由于存在重复计算的可能，所以考场上连搜索都没有打出来（其实已经差不多可以处理重复了）。
  简单环不好表示，这里退一步，考虑表示简单路径的状态。令 $f[s][i]$表示经过点集为s，起点为 $s$中编号最小的点(令为 $st$)，终点为i的简单路径条数。
  转移：对于一条 $u \to v$的边
  若 $v \notin s$ 则 $f[s | 2^v][v] += f[s][u]$
  若 $v \in s$ 且 $v = st$， $s$中的点数大于 $2$，则 $ans += f[s][u]$
  注意的是，对于一个简单环而言，我们一共统计了 $2$次，因此，最后的 $ans$要 $/ 2$

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10.12

今天的题目海星，比较简单。

• 关键子工程
  本来是能 $AC$的，结果被在一点小细节上出现了失误（ $vector$用 $unique$后一定注意保存可用的长度）
  一道简单的拓扑，第二问的话，直接利用求得的 $f$数组，反着推一遍就行了
• 编辑距离
  算是一道经典的 $dp$，令 $f[i][j]$表示 $a$的前 $i$位与 $b$的前 $j$位匹配的最少操作次数。
  初始化： $f[i][0] = i ,f[0][j] = j$
  转移： $f[i][j] = \begin{cases} f[i - 1][j - 1] & ,a[i] == b[j] \\[2ex] min(f[i - 1][j], f[i][j - 1],f[i - 1][j - 1]) + 1 & ,a[i] != b[j]\end{cases}$
• 硬币找零
  简单的完全背包
• 快餐问题
  总感觉题意还是有点问题，网上一共有两种方案，均能过（但其中一种两每个生产线的时间都连在了一起。）
  这里只讲一下将时间连在一起的 $dp$
  令 $f[i][x][y][z]$表示前i条生产线生成＊＊的数量分别为 $x,y,z$的套餐数。
  然后直接推就行了
• 物品装箱问题
  简单的分组背包

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10.14

好吧，考试的时候心态炸了。

• 火车进站
  由于 $m$很小，所以可以直接分类讨论。分别做 $dp$处理。
  注意m=2/3的时候，考虑只有1、2个同时进站的情况
• 凸多边形的三角剖分
  区间 $dp$，令 $f[l][r]$表示划分连续编号 $[l,r]$的最小值。
  注意拆环成链
• 最长前缀
  貌似数据有点水，匹配的时候直接暴力 $for$也能过。
  令 $f[i]$表示 $[1,i]$是否能匹配
• 卡车更新问题
  初始化有点毒，被整了好久。
  方程的定义有很多，但由于要记录路径，还是选择一种容易点的吧。
  令 $f[i][j]$表示第 $i$年时当前的车用了 $j$年
  当 $j==1$时，说明去年换了车，枚举从上一辆车用了多久，取最优值。
  否则，直接说明与去年是同一辆车，直接继承过来即可。
  记录路径的话，那就是标准的套路了.
• 选课
  本来树型分组背包直接求就行了，然而要输出方案。
  由于路径不好记录，考虑换一种写法——转二叉树。
  利用“左儿子，右兄弟”的原则，将其转化成一棵二叉树，然后直接上几搜吧，顺便记录路径。

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10.15

emmm，有点无奈啊，知道大致思路，然而总在一些细节方面出错。

• Hankson 的趣味题
  有两种方法，既可以考虑暴力枚举 $b1$的因子用 $gcd$判断，也可以根据唯一分解定理，限定 $x$中各个质因子次数的取值范围
• 青蛙的烦恼
  表示数据不给面子，暴力只有 $10$分
  很明显的一点，青蛙走的路径决定不能交叉，因此它只能走连续的点。
  于是按着这个思路搜索，用记搜优化即可。
  令 $f[l][r]$为以 $l$为起点，做过点集 $[l,r]$的最短距离
  转移如下：

IL double dfs(int l, int r)
{
	if(f[l][r] != inf) return f[l][r];
	
	if(l < r) return f[l][r] = min_(dfs(l + 1, r) + dis[l][l + 1], dfs(r, l + 1) + dis[l][r]);
	return f[l][r] = min_(dfs(l - 1, r) + dis[l][l - 1], dfs(r, l - 1) + dis[l][r]);
}

• 警卫安排
  dp方程什么的都对了，忘了找根。。。。
  令 $f[u][0/1/2]$:表示节点 $u$被父亲看着/被儿子看着/被自己看着。
  转移方程：
  $f[u][0] = \sum_{v \in child}min(f[v][1],f[v][2])$ : 儿子只能被自己或被儿子看着
  $f[u][1] = f[u][0] + max(0, min(f[v][2] - f[v][1]))$ : 保证必定有一个儿子放置了看守
  $f[u][2] = \sum_{v \in child}min(f[v][0],f[v][1],f[v][2])$：随意了，去最小即可。
  初始化：对于叶子节点而言， $f[u][1] = inf$
• 最短回文串
  证明未知。答案为总长度减去正反序列的 $LCS$
• 平板涂色
  本来想的是两维的，结果写的时候突然脑抽改成了一维，，，，，
  明显的状压 $dp$令 $f[s][u]$表示将点集 $s$中的点染上色且最后染色的点为 $u$。直接转移即可
• xx
  J哥表示要贴成绩，那就随便吧┑(￣Д ￣)┍
  

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10.16

主要还是细节与实现上的问题，看来还是缺少练习。
关于

• 硬木地板
  数据貌似有点问题。
  一道明显的状压 $dp$，然而在状态转移的推到上还是出了点问题。一般而言，而直接枚举 $+check$就行了，但是本题的状态有点复杂，难以直接判断，因此考虑先用 $dfs$求出能相互转移的状态，然后再进行 $dp$
  令 $f[i][s]$表示前 $i - 1$行全满，第 $i$行状态为 $s$的方案数

• 通向自由的钥匙
  裸的树型分组背包，然而边界还是弄错了。

• 三角蛋糕
  忘了三角形正反都行了（还要注意奇偶性的问题），所以看漏了。
  其实这一题可以说是暴力了，只不过通过预处理来优化罢了。
  记录一下从该点出发，向下/上拓展的个数，向左/右拓展的个数。

• 骑士
  状压 $dp$。由于骑士的走法（日）牵扯到了上面两行，因此仅仅记录当前这一行的状态是不够的。
  令 $f[i][k][s1][s2]$表示前 $i$行共放置 $k$个骑士，第 $i-1$行为 $s1$，第 $i$行为 $s2$的方案数.

• 补发
  

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