数值分析实验报告 Lab2 埃尔米特（Hermite）插值

一、问题引出

掌握埃尔米特插值算法原理；
使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。

二、实验准备

阅读《数值分析》——李庆阳 2.4节

三、实验要求

问题： 某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在 $n+1$ 个采样时刻点 $t_i$ 的里程 $s_i$ 和速率 $v_i（i=0, 1, ..., n）$ 。要求编程构造埃尔米特插值多项式 $H_{2n+1}(t)$ ，满足 $H_{2n+1}(t_i)=s_i$ ， $H'_{2n+1}(t_i)=v_i$ ，对所有 $i=0, 1, ..., n$ 成立，并据此计算 $m$ 个给定时刻的里程和速率。

函数接口定义：

void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );

其中 $N$ 为采样点个数（注意这个 $N$ 不是公式中的最大下标 $n$ ，而是等于 $n+1$ ），采样时刻点 $t_i$ 、里程 $s_i$ 、速率 $v_i$ 分别通过 $t、s、v$ 传入； $m$ 是需要估算的给定时刻的个数， $ht$ 传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在 $hs$ 和 $hv$ 中。

裁判程序如下：

#include<stdio.h>

#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */
#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */

void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );

int main()
{
  int N; /*确定给定的N=n+1组数据*/
  double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */
  double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */

  int m; //我们要估算的数据组数
  int i; //类似指向

 //可以说是主要部分了
  while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {
  
 //输入数据，可以说用于插值-构造Hermite插值多项式了
    for ( i=0; i<N; i++ ){scanf("%lf", &t[i]);}
    for ( i=0; i<N; i++ ){scanf("%lf", &s[i]);}
    for ( i=0; i<N; i++ ){scanf("%lf", &v[i]);}
      
  //小停一会，这里我们输入的是要测算的组数与数据
    scanf("%d", &m);
    for ( i=0; i<m; i++ ){scanf("%lf", &ht[i]);}
      
  //调用函数
    Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );
    
  //输出数据
    for ( i=0; i<m; i++ ){printf("%.4lf ", hs[i]);}
    printf("\n");/*空行鸭*/
    
    for ( i=0; i<m; i++ ){printf("%.4lf ", hv[i]);}
    printf("\n\n");/*空行鸭*/
    
  }
  return 0;
}

裁判输入数据：

2
0.0 1.0
0.0 1.0
0.0 0.0
5
0.0 0.2 0.5 0.8 1.0

3
0.0 0.5 1.0
100.0 170.0 200.0
30.0 150.0 0.0
5
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0

5
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
0.0 60.0 160.0 260.0 300.0
5.0 70.0 100.0 120.0 20.0
10
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0

标准输出数据：

0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.0000
0.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000

100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.0000
30.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.0000

30.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.0000
62.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000

四、代码总结

//
//  main.cpp
//  Hermite
//
//  Created by apple on 2018/10/16.
//  Copyright © 2018年 apple. All rights reserved.
//

#include<stdio.h>

#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */
#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */


void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] )
{
    double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];
    int kk;
    for(kk=0;kk<m;kk++)
    {
        x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;
        int i;
        for(i=0;i<N;i++)
        {
            l[i]=1;ll[i]=1;
            int j;
            for(j=0;j<N;j++)
            {
                if(i!=j)
                {
                    l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);
                }
            }
            p[i]=0;pp[i]=0;
            int k;
            for(k=0;k<N;k++)
            {
                if(i!=k)
                {
                    p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);
                    pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);
                }
            }
            h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];
            h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];
            hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];
            int kkk;
            for(kkk=0;kkk<N;kkk++)
            {
                if(x==t[kkk])
                    break;
                
            }
            if(x==t[kkk])
                hv[kk]=v[kkk];
            else
                hv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));
            
        }
    }
}
int main()
{
  int N; /*确定给定的N=n+1组数据*/
  double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */
  double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */

  int m; //我们要估算的数据组数
  int i; //类似指向

 //可以说是主要部分了
  while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {
  
 //输入数据，可以说用于插值-构造Hermite插值多项式了
    for ( i=0; i<N; i++ ){scanf("%lf", &t[i]);}
    for ( i=0; i<N; i++ ){scanf("%lf", &s[i]);}
    for ( i=0; i<N; i++ ){scanf("%lf", &v[i]);}
      
  //小停一会，这里我们输入的是要测算的组数与数据
    //组数
    scanf("%d", &m);
    //时间
    for ( i=0; i<m; i++ ){scanf("%lf", &ht[i]);}
      
  //调用函数
    Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );
    
  //输出答案鸭
    //里程
    for ( i=0; i<m; i++ ){printf("%.4lf ", hs[i]);}
    printf("\n");/*空行鸭*/
    //速度
    for ( i=0; i<m; i++ ){printf("%.4lf ", hv[i]);}
    printf("\n\n");/*空行鸭*/
    
  }
  return 0;
}

本blog通过搜集资料，暂时只给出程序答案。
具体过程在本年度10.30会给出。

@author Richard_vim
@E-mail: [email protected]
@date 10.16