排序之直接插入排序和折半插入排序

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直接插入排序

直接插入排序时将一个记录插入到一个已经有序的的表或者数组中，从而得到一个新的有序的表或者数组。
就像打牌一样，拿到一张牌后，要往手中的牌里插，使手中的牌还是有序的。假如手中有4,6,7三张牌，现在拿到的下一张牌是5，那么肯定要插在4之后，直接插入排序也是这个道理。
假如现在有数组：{11,2,5,78,34,56,23}，直接插入排序的过程如下：

代码实现如下：

void InsertSort(int a[], int n) {
    int i, j, temp;
    for (i = 1; i < n; i++) {
        temp = a[i];    // 待插关键字为a[i]
        for (j = i - 1; a[j] > temp && j >= 0; j--) {   // 查找a[i]的位置
            a[j + 1] = a[j];
        }
        a[j + 1] = temp;
    }
}

分析发现上图中当待插关键字为78时，78比前面的一个大，就没有必要进行这一趟排序，所以可以在进行每一趟排序之前，判断是否需要进行。
代码实现如下：

void InsertSort(int a[], int n) {
    int i, j, temp;
    for (i = 1; i < n; i++) {
        if (a[i] < a[i - 1]) { // 如果需要进行排序，也就是说a[i]比它的前一个小，a[i]和前面的不能构成一个有序序列
            temp = a[i];
            for (j = i - 1; a[j] > temp && j >= 0; j--) { 
                a[j + 1] = a[j];
            }
            a[j + 1] = temp;
        }
    }
}

直接插入排序的时间复杂度

直接插入排序的最好的情况是原本需要排序的数组就是有序的，那么它只需要比较即可，但是如果是最坏情况，即数组是反序的，那么他的时间复杂度就会比较大，所以最后他的平均时间复杂度为$O(n^2)$。直接插入排序是简单排序中时间复杂度比较稳定的排序算法。

直接插入排序时一种稳定的排序。

折半插入排序

我们知道对于数组折半查找要比顺序查找快，通过这个点可以对直接插入排序进行优化。之前在找待插关键字位置的时候使用的是顺序查找比较，现在将之前的顺序查找改为折半查找。

void BiInsertSort(int a[], int n) {
    int i, j, temp;
    int low, high, mid;
    for (i = 1; i < n; i++) {
        if (a[i] < a[i - 1]) {
            temp = a[i];    // a[i]是待插关键字
            low = 0;
            high = i - 1;   // 从0到i是一段有序序列，在这段序列中找一个合适的位置插入a[i]
            while (low < high) {
                mid = (low + high) / 2;
                if (a[mid] > temp)  // a[i]在mid之前
                    high = mid - 1;
                else
                    low = mid + 1;  // a[i]在mid之后
            }
            for (j = i - 1; j >= low; j--) 
                a[j + 1] = a[j];        // 记录后移
            a[low] = temp;
        }  
    }
}

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