三角函数和差公式的推导

高中知识忘的差不多了，前段时间重新推导了和差化积的公式，这里做下记录

0X01 三角函数公式推导

两角和的公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角的公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角之公式：

sin4A=-4*(cosAsinA(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA4)

tan4A=(4tanA-4tanA^3)/(1-6*tanA2+tanA^4)

五倍将式：

sin5A=16sinA^5-20sinA3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10tanA^2+tanA4)/(1-10tanA^2+5*tanA4)

六倍将式：

sin6A=2*(cosAsinA(2sinA+1)(2sinA-1)(-3+4*sinA^2))

cos6A=((-1+2cosA^2)*(16*cosA4-16cosA^2+1))

tan6A=(-6tanA+20tanA^3-6*tanA5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA4+tanA^6)

七倍将式：

sin7A=-(sinA*(56sinA^2-112*sinA4-7+64sinA^6))

cos7A=(cosA*(56cosA^2-112*cosA4+64cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35tanA^2-21*tanA4+tanA^{6)/(-1+21*tanA}2-35tanA^4+7*tanA6)

八倍将式：

sin8A=-8*(cosAsinA(2sinA^{2-1)*(-8*sinA}2+8sinA^4+1))

cos8A=1+(160cosA^4-256*cosA6+128cosA^8-32*cosA2)

tan8A=-8tanA(-1+7tanA^2-7*tanA4+tanA^{6)/(1-28*tanA}2+70tanA^4-28*tanA6+tanA^8)

九倍将式：

sin9A=(sinA*(-3+4sinA^2)*(64*sinA6-96sinA^4+36*sinA2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4cosA^2)*(64*cosA6-96cosA^4+36*cosA2-3))

tan9A=tanA*(9-84tanA^2+126*tanA4-36tanA^6+tanA8)/(1-36tanA^2+126*tanA4-84tanA^6+9*tanA8)

十倍将式：

sin10A=2*(cosAsinA(4sinA^{2+2*sinA-1)*(4*sinA}2-2sinA-1)(-20sinA^2+5+16*sinA4))

cos10A=((-1+2cosA^2)*(256*cosA8-512cosA^6+304*cosA4-48*cosA^2+1))

tan10A=-2tanA(5-60tanA^2+126*tanA4-60tanA^6+5*tanA8)/(-1+45tanA^2-210*tanA4+210tanA^6-45*tanA8+tanA^10)

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^{2(α/2)]/[1+tan}2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半将式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1²⁺²2+3²⁺⁴2+5²⁺⁶2+7²⁺⁸2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1³⁺²3+3³⁺⁴3+5³⁺⁶3+…n^3=(n(n+1)/2)2 12+23+34+45+56+67+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

0X02 sin( $\alpha$+ $\beta$)推导

参考文章
三角函数和差公式的推导
三角函数公式