动态逆序对:CDQ分治

题目描述

对于序列A，它的逆序对数定义为满足$i<j$,且$Ai>Aj$的数对$(i,j)$的个数。给$1$到$n$的一个排列，按照某种顺序依次删除$m$个元素，你的任务是在每次删除一个元素之前统计整个序列的逆序对数。

输入格式

输入第一行包含两个整数$n$和$m$，即初始元素的个数和删除的元素个数。以下n行每行包含一个$1$到$n$之间的正整数，即初始排列。以下$m$行每行一个正整数，依次为每次删除的元素。

输出格式

输出包含$m$行，依次为删除每个元素之前，逆序对的个数。

题解

CDQ分治有两种做法，一种是先处理出所有的逆序对数量，然后处理每次删除一个对答案的影响。另一种是把删除当做先删除m个数再倒着插入的过程。这里我使用了后面这种方法。
首先因为插入的顺序对答案有影响，所以我们插入一个数实际上对时刻在它前面的，坐标前面的比它大的数和坐标后面的比它小的数都有答案贡献，记插入的数时间x，下标y，权值z，即

$$x<x'\qquad x<x'\\y>y'\qquad y<y'\\z<z'\qquad z>z'$$ 因为我要练练CDQ，所以用的是CDQ套CDQ，无所谓负数，于是可以无脑变号，离散化什么也是不存在的，就是我的答案要记一个指针，如果3D用树状数组的话左右同加一个大数(比如n+1)就可以了 $$x<x'\qquad x<x'\\-y<-y'\qquad y<y'\\z<z'\qquad -z<-z'$$

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define maxn 100005
#define MAXN 100005
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,pos[maxn],ini[maxn],del[maxn];
LL ans[maxn];
bool flag[maxn];
int read(){
    int res=0; char c; c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9') c=getchar();
    while(c>='0' && c<='9') res=res*10+c-48,c=getchar();
    return res;
}
struct Node{
    int x,y,z;
    LL *ans;
    bool flag;
    inline void get(){
        x=read(); y=read(); z=read();
    }
    inline void out(){
        cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<" "<<*ans<<endl;
    }
}a[maxn],b[maxn],c[maxn];
void merge2(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    merge2(l,mid); merge2(mid+1,r); LL tot=0;
    for(int p=l,q=mid+1,i=l;i<=r;i++){
        if((q>r||b[p].z<b[q].z)&&p<=mid){
            c[i]=b[p++];
            if(c[i].flag) tot++;
        }
        else {
            c[i]=b[q++];
            if(!c[i].flag) *c[i].ans+=tot;
        }
    }
    for(int i=l;i<=r;i++) b[i]=c[i];
}
void merge1(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    merge1(l,mid); merge1(mid+1,r);
    for(int p=l,q=mid+1,i=l;i<=r;i++){
        if((q>r||a[p].y<a[q].y)&&p<=mid){
            b[i]=a[p++];
            b[i].flag=1;
        }
        else {
            b[i]=a[q++];
            b[i].flag=0;
        }
    }
    for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=b[i];
    merge2(l,r);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) ini[i]=read(),pos[ini[i]]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++) del[i]=read(),flag[del[i]]=1;

    int tim=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!flag[ini[i]]) a[++tim]=(Node){tim,-i,ini[i],&ans[tim]};
    for(int i=m;i;i--) a[++tim]=(Node){tim,-pos[del[i]],del[i],&ans[tim]};
    merge1(1,n);

    tim=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!flag[ini[i]]) a[++tim]=(Node){tim,i,-ini[i],&ans[tim]};
    for(int i=m;i;i--) a[++tim]=(Node){tim,pos[del[i]],-del[i],&ans[tim]};
    merge1(1,n);

    for(int i=2;i<=n;i++) ans[i]+=ans[i-1];
    for(int i=n;i>n-m;i--) printf("%lld\n",ans[i]);
}