圆周上任意取三点组成直角三角形的概率为0

不失一般性，我们在一个单位圆上做分割，下图中两点之间的弧长用对应的字母表示：

这时，根据圆周角与所夹弧长的关系可以把该问题转化为几何概型：

• 三角形为锐角三角形的充要条件是三条弧长都小于 $\pi$；
• 三角形为直角三角形的充要条件是三条弧长只有一条等于 $\pi$；
• 三角形为钝角三角形的充要条件是三条弧长只有一条大于 $\pi$。

将几何概型表现在坐标轴上：

其中， $\Delta AOB$的所围成区域的点集表示了全概率空间， $S_3$表示组成锐角三角形的事件，根据面积比可以得到概率为 $\frac{S_3}{S_{\Delta AOB}}=\frac{1}{4}$; 而三条红线在 $\Delta AOB$中所截断线段的长度代表组成直角三角形的事件，其概率为0； $S_1+S_2+S_4$表示组成钝角三角形的事件，其概率为 $\frac{3}{4}$.