基础集合论 第一章 集合与集合的运算

序

最近看了北京师范大学1998年出版的 《基础集合论》，还是很受益的，但是由于书籍排版不清晰，有一些词汇已经过时，目前也没有新版，因此我准备把本书的主要内容整理出来，分享给大家。
编写本文的动力主要还是来自我很久以来的一个愿景：我一直觉得所有的数学知识是相互联系的，我们可以通过从基础到复杂的推导一步一步建立起数学王国的整体框架。虽然根据哥德尔不完全性定理，这一愿景是不可能的。但是，对知识之间的联系的梳理和总结是非常有意义的。
本书遵循ZF公理系统介绍了抽象集合论的基本内容，主要研究集合与集合之间的关系。

第一章 集合与集合的运算

1 概述

略。

2 集合

2.1 集合和两个基本关系

什么是集合？我们把“集合”和“属于”（记为“ $\in$”）当做不定义¹ 的两个概念。我们用：

• $a \in A$ 表示： $a$ 属于集合 $A$ 。或者说： $a$ 是集合 $A$ 的元素。或者说：集合 $A$ 包含 $a$ 。
• $a \not \in A$ 表示： $a$ 不属于集合 $A$ 。或者说： $a$ 不是集合 $A$ 的元素。或者说：集合 $A$ 不包含 $a$ 。

在集合论中，集合的元素也是集合。这就是说，当我们看到 $a \in A$ 时，我们就知道其中的 $a$ 和 $A$ 都是集合。这与一些其他的数学课程的规定不同，这么定义的原因是：

1. 集合论只研究集合与集合之间的关系，不考虑集合以外的对象。
2. 这并不妨碍把集合论的结果应用于其他分支（在允许应用的情况下）。

我们规定：对于任意两个集合 $A,B,$ 或者 $A \in B,$ 或者 $A \not \in B$ 。两者有且只有一个成立。
在集合论中，还有一种 “等于”（记为“ $=$”）概念。我们用：

• $A = B$ 表示： $A$ 与 $B$ 是同一个集合。或者说： $A$ 与 $B$ 是同一个集合的两个符号。或者说： $A$ 与 $B$ 可以在任意一个语句中相互替换。
• $A \not = B$ 表示： $A$ 与 $B$ 不是同一个集合。或者说： $A$ 与 $B$ 不是同一个集合的两个符号。或者说： $A$ 与 $B$ 不可以在任意一个语句中相互替换。

因此，若 $a \in A$ 且 $a = b,$ 则我们可得出： $b \in A$ 。

我们同样规定：对于任意两个集合 $A,B,$ 或者 $A = B,$ 或者 $A \not = B$ 。两者有且只有一个成立。

由上可知，“属于” 与 “等于” 是集合与集合之间的两种关系。它们是集合论中的两个基本关系。

2.2 外延公理

以下是关于“属于” 与 “等于” 这两个基本关系的公理：

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公理一：外延公理

对于任意两个集合 $A,B,$ 如果：

对于任意一个集合 $x, x \in A$ 当且仅当² $x \in B$ 。

则： $A = B$ 。

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这就是说，如果两个集合有完全一样的元素，则它们是同一个集合。
按照“等于”关系的用法，外延公理的逆命题显然成立：

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外延公理的逆命题

对于任意两个集合 $A,B,$ 如果 $A = B$ ，则：
对于任意的集合 $x, x \in A$ 当且仅当 $x \in B$ 。

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因此，对于任意两个集合 $A,B,$ $A \neq B$ 当且仅当：
或者存在一个 $x,$ $x \in A$ 但是 $x \not \in B$ ； 或者存在一个 $y, y \in B$ 但是 $y \not \in A$ 。

2.3 空集公理

集合论中至少应该存在一个集合才会有研究意义。另外，是否存在不包含任何元素的集合呢？为了解决这两个问题，就有了空集公理：

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公理二：空集公理

存在一个不包含任何元素的集合，也就是说，存在一个集合 $A$ ，使得对于任意一个 $x, x \not \in A$ 。

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我们可以推出，空集公理里的集合 $A$ 是唯一的：

1. 对于任意两个集合 $A, B,$ 若 $A, B$ 都不包含任何元素，则对于任意一个 $x, x \not \in A$ 且 $x \not \in B$ 。于是以下两个命题也是成立的：
   (1) 对于任意一个 $x,$ 若 $x \in A$ 则 $x \in B$ 。
   (2) 对于任意一个 $y,$ 若 $y \in B$ 则 $y \in A$ 。
2. 按照外延公理， $A = B$ 。

不包含任何元素的集合叫空集，记为 $\varnothing$ 。

2.4 等价于符号

为了简化表示，我们定义符号“等价于”（记为“ $\Leftrightarrow$”）：
$A \Leftrightarrow B$ 表示： $A$ 等价于 $B$。或者说： $A$ 和 $B$ 等价。 或者说： $A$ 和 $B$ 可以相互替换。 或者说： $A$ 当且仅当 $B$ 。
因此，我们可以说：

• $a \in A \Leftrightarrow a$ 属于集合 $A \Leftrightarrow a$ 是集合 $A$ 的元素 $\Leftrightarrow$ 集合 $A$ 包含 $a$ 。
• $a \not \in A \Leftrightarrow a$ 不属于集合 $A$ $\Leftrightarrow a$ 不是集合 $A$ 的元素 $\Leftrightarrow$ 集合 $A$ 不包含 $a$ 。
• $A = B \Leftrightarrow A$ 与 $B$ 是同一个集合 $\Leftrightarrow A$ 与 $B$ 是同一个集合的两个符号 $\Leftrightarrow A$ 与 $B$ 可以在任意一个语句中相互替换。
• $A \not = B \Leftrightarrow A$ 与 $B$ 不是同一个集合 $\Leftrightarrow A$ 与 $B$ 不是同一个集合的两个符号 $\Leftrightarrow A$ 与 $B$ 不可以在任意一个语句中相互替换。

注

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1. “不定义”表示：不说明这个概念是什么。虽然我们不定义这些概念，但是我们可以说明这些概念的用法。 ↩︎

2. “ $A$ 当且仅当 $B$” 表示：当 $B$ 成立时， $A$ 就会成立；且只有当 $B$ 成立时， $A$ 才有可能会成立。 ↩︎