线性代数(三) 矩阵乘法与线性变换复合

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  考虑一个变换: 逆时针旋转 90°, 再剪切一个单位, 变换后的 $\vec i$, $\vec j$ 的矩阵是 $\begin{bmatrix} 1&-1\\1&0 \end{bmatrix}$, 但是很明显, 我们实际上进行了两个动作, 我们通过直观上的观察得出的是最后的整体效应.
  那么, 现在让我们来分别考虑两个过程, 再重新进行上述的变换.
  1. $\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end{bmatrix}$– 逆时针旋转 90°
  2. $\begin{bmatrix} 1&1\\0&1 \end{bmatrix}$ – 剪切一个单位
  那么对于任意的一组 $\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$, 下面这个等式都应该成立 !
  

$$\begin{align} \begin{bmatrix} 1&1\\0&1 \end{bmatrix} \left(\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\right) &= \begin{bmatrix} 1&-1\\1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\\ \\ \begin{bmatrix} 1&1\\0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1&-1\\1&0 \end{bmatrix} \end{align}$$
  看我们得到了什么! 把这个式子定义成矩阵乘法是相当合理的.
  还记得我们之前说的么? 所谓 “变换”, 是为了让我们用运动去思考.
  矩阵乘法并不是课本上的一个枯燥的公式, 矩阵乘法表示的意义是几个变换的相继作用.
  另外, 你有没有注意到我们的公式是从右向左读的? 先发生的变换反而在公式的左边. 这是为什么呢?
  这又要说回之前提到的: “变换” 其实就是一个 “函数”. 这个复合函数 $f(g(x))$ 是不是更眼熟一些~ 我们把变换写在左边的原因就是我们会把函数写在变量的左边, 于是我们的乘法公式就变成了从右向左读.
   注意这是在我们使用列向量来讨论时的情况, 当使用行向量的时候由于矩阵乘法需要保持矩阵內维相等, 阅读顺序会变成从左向右.

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  接下来我们来推广矩阵乘法的定义.
  用变换来思考 $\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e&f\\g&h \end{bmatrix}$
  $\vec i$ 经过第一次变换变成了 $\begin{bmatrix} e\\g \end{bmatrix}$, 再经过第二次变换$\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e\\g \end{bmatrix}\Rightarrow e\begin{bmatrix} a\\c \end{bmatrix}+g\begin{bmatrix} b\\d \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} ae+bg\\ce+dg \end{bmatrix}$
  对 $\vec j$ 做同样的处理, 我们最终就得到了 $\begin{bmatrix} ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh \end{bmatrix}$
  看~ 这不就是矩阵乘法的公式.

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  用连续的变化来思考矩阵的乘法, 会帮助我们更直观的理解矩阵的性质.
  比如结合律: $(AB)C = A(BC)$. 如果用公式推导的方式来证明这个定律, 你可能需要写非常长的一个矩阵等式, 当矩阵维度增加时计算量更是爆炸式的增长. 但是如果你站在变化的角度来看, 不管怎么结合, 施加变换的顺序都是 $C\Rightarrow B\Rightarrow A$. 看! 这个定律就是这样显而易见, 根本就不需要证明嘛!

  那么交换律又为什么无法被矩阵乘法满足呢?
  假设 $M_1$ 是旋转, $M_2$ 是剪切, 那么 $M_1M_2$, $M_2M_1$ 都表示了什么变换呢?
  
  可见 $M_1M_2$ 最终使 $\vec i$, $\vec j$ 靠近, $M_2M_1$ 最终使 $\vec i$, $\vec j$ 远离.