线性代数题型总结

线代题型的总结

1. 行列式

1.1 计算行列式的值

1. 使用带余子式的展开公式(即按行或者按列展开)
2. 注意两行互换位置(变号),两行成比例或者某行为0(为0)的情况
3. 逐行相加的方法
4. 每行都加到第一行上去
5. 第一行加到每一行上去
6. 利用已知条件从Xn与Xn-1的关系中找到递推公式
7. 对于n阶的三对角线行列式, 通常可用数学归纳法
8. 知道几个重要的公式(上下三角形行列式, 副对角线行列式, 拉普拉斯展开式式, 范德蒙行列式)

李王全书: P312.例1,2,3,6,8,9,10,11

1.2 抽象型行列式的计算

注意理解那些抽象的行列式的公式即可

李王全书: P319.例13,14,15,16,17

1.3 判断行列式|A|是否为0

1. 矩阵不可逆
2. r(A)

1.4 关于代数余子式求和

1. 利用Aij与aij的值无关的特性, 构造新的行列式|B|来间接计算
2. 用第i行元素乘以第j行相应代数余子式乘积之和为0的性质
3. 跟随伴随矩阵A*的定义, 通过求A*再来求和

李王全书: P322. 例21,22

2. 矩阵

2.1 特殊方阵的幂

1. A^n = k^(n-1) * A
2. A^n = (E+B)^n = E^n + nBE^(n-1) + n(n-1)/2B^2 E(n-2), 后面的项为0
3. 利用N阶拉普拉斯矩阵的特性
4. A^n = (BC)^n = B(CB)(CB)C这样来拆

李王全书: P334.例7,8,9,11

2.2 伴随矩阵的相关问题

1. 主要把握好伴随矩阵的组成, 即余子式转置
2. 还有就是伴随矩阵的定义: AA^* = A^* A = |A|A^-1

李王全书: P337.例12,13,14,15

2.3 求逆矩阵

1. 用伴随矩阵求
2. 用增广矩阵的初等行变换

李王全书: P339.例18,19,20

2.4 初等变换,初等矩阵

1. 注意初等变换都可以用与初等矩阵相乘的形式来实现
2. 注意行变换与列变换乘以变换矩阵的方式不同

李王全书: P342.例24,26

2.5 计算矩阵的秩

1. 记得秩的一些结论比如r(AB) <= r(A)
2. r(A+B) <= r(A) + r(B)

李王全书: P343. 例27,30,31

3. 向量

3.1 线性相关的判别

1. 给出α1,α2,α3(其中带系数t), 他们若线性相关, 那么齐次方程组x1α1 + x2α2 + x3α3就有非零解, 也就是说秩小于3
2. 已知ai(1<=i<=4)之间都是线性无关的, 求用ai表示的式子的线性相关性, 那么可以假设ai为[1,0,0,0]和[0,1,0,0]等来进行验证
3. 证明线性无关通常思路是用定义法, 齐次方程组只有零解或者反证法

李王全书: P352. 例1,2,7,8,10,11,12

3.2 秩与极大线性无关组

求秩和极大线性无关组的方法主要有初等变换直接求或者是利用增广矩阵来进行计算. 需要注意的是极大线性无关组与特征向量并不相同, 不要混为一谈. 并且求极大线性无关组时只能要么全做行变换, 要么全做列变换. 但是计算秩的时候可以混着用.

李王全书: P359.例13,14,15

3.3 正交化, 正交矩阵

1. 求与一个向量组中所有向量都正交的向量. 那么把这个向量认为是x, 然后通过化简使得有唯一零解即可
2. 根据正交矩阵的定义来证明一些题

李王全书: P360. 例16,17,19

3.4 向量空间

1. 求过渡矩阵与坐标变换.
2. 某向量在两个坐标系下有相同的坐标, 求该向量. 通过两个坐标系坐标相同列等式, 化为一边只有解矩阵即可.

李王全书: P361. 例21,22,23

4. 线性方程组

4.1 线性方程组的求解

1. 求齐次线性方程组的通解.
2. 求基础解系有两种方法, 一种是给自由未知量赋一个(1,0)和(0,1)这样的值, 带入方程后解出其他的值. 或者是假设自由未知量为ki的倍数, 然后解出对于单个的xi来说k的系数, 综合起来就是基础解系了.
3. 对于向量矩阵的化简中对于参数的讨论, 取值的不同关系到有多少个解的问题

李王全书: P372.例7,10,11

4.2 Ax=0中参数矩阵A的行向量与解向量的关系

将普通的参数与解反转过来, 详见380

李王全书: P380.例15

4.3 线性方程组中参数矩阵的列向量和解向量的关系

就是说初等行变化不改变线性方程组的解, 但是还是不懂

李王全书: P382.例18

4.4 两个方程组的公共解

1. 直接解二者的公共方程组
2. 通过假设第一个方程的通解, 再带入第二个方程求得需要的解
3. 通过通解求出公共解

李王全书: P383.例19

4.5 使用克拉默法则

李王全书: P387.例25

5. 特征值、特征向量、相似矩阵

5.1 特征值、特征向量的求法

要学会求特征值, 特征向量, 以及与A有关的矩阵的参数的变化

李王全书: P392. 例1,2,3

5.2 判断是否相似于对角矩阵并求P使得P^-1 B P = A

按照方法求即可

李王全书: P398.例10

5.3 由特征值、特征向量反求A

注意反求的公式以及正交矩阵特殊的性质

李王全书: P400.例13,14

5.4 矩阵相似及相似标准形

1. 求对角阵
2. 相似矩阵的性质
3. 以及求两矩阵之间通过对角阵的方式进行转化
4. 求实对称矩阵的对角矩阵

李王全书: P402.例15,16,17,18

5.5 相似对角阵的应用

1. 相似对角阵用来计算行列式的值很适合
2. 用来计算矩阵的幂次有着天然的优势, 注意其中的小技巧(李王全书P408)
3. 特征值可以用来代替一个向量来进行计算
4. 特征向量可以用来表示其他向量, 这样计算就变得简单了

李王全书: P407.例20,21,22,24