算法系列-复杂度分析：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

整理自极客时间-数据结构与算法之美。原文内容更完整具体，且有音频。购买地址：

只要讲到数据结构与算法，就一定离不开时间、空间复杂度分析。而且我个人认为复杂度分析是真个算法的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

1.为什么需要复杂度分析？

你可能会有些疑惑，我把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？

首先肯定的说，这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多书籍管这种方法叫“事后统计法”。但是这种方法有很大的局限性：

测试结果非常依赖测试环境：如测试环境中的硬件对测试j结果影响很大。
测试结果受数据规模的影响很大。如小规模的数据插入排序反而比快速排序快。

所以，我们需要一个不用具体数据来测试，就可以粗略的估算执行效率的方法。

2.大O复杂度表示法

算法的执行效率，粗略的讲，就是算法的执行时间。

例子1：

//这里有段简单的代码，求1到n的累加和。
int cla(int n){
    int sum = 0;
    int i = 1;
    for (;i<=n; i++){
        sum = sum + 1;
    }
    return sum;
}

现在我们来估算下，上述代码的执行时间：

尽管每行代码对应cpu执行的个数、执行的时间都不一样，但是我们这里只是粗略的估计，所以我们可以假设每行代码执行的时间都一样，都为unit_time。在这个假设的基础上，我们进行分析！

第3、4行都执行了一次，第5、6行都执行了n次。所以这段代码总执行2*unit_time+2n*unit_time。可以看出代码的执行时间（T(n)）与代码的执行次数成正比。

例2：

int cal(int n){
    int sum = 0;
    int i = 1; 
    int j = 1;
    for(; i<= n ;i++){
        j = 1;
        for(; j <= n ; j++){
            sum = sum + i*j;
        }
    }
}

我们依旧按照例1中的方法进行分析。

第2、3、4行代码都分别执行了一次。第5、6行都循环执行了n次，需要2n*unit_time 的执行时间。第7、8行都执行了n*n次，需要2n*n*unit_time的执行时间。所以例2的总的执行时间为3*unit_time+2n*unit_time+2n*n*unit_time。

通过两个例子，我们可以得出一个规律：所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比。

我们可以把这个规律总结成一个公式。注意，大 O 就要登场了！

我们来解释一下这个公式。T(n)表示代码的执行时间；n表示数据规模的大小；f(n)表示每行代码执行次数的总和。因为这是一个公式，所以用f(n)表示。公式中的O，表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。

所以，第一个例子中Tn=O(2n+1)，第二个例子中的Tn=O(2n*n+2n+3)。这就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不代表代码的具体执行时间，而是表示代码的执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以也叫做时间渐进复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

当 n 很大时，公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n*n)。

3.时间复杂度分析

前面介绍了大 O 时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下，如何分析一段代码的时间复杂度？我这儿有三个比较实用的方法。

a) 只关注循环执行次数最多的一段代码

我刚才说了，大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。

例1：

int cal(int n) {
    int sum = 0;
    int i = 1;
    for (; i <= n; ++i) {
        sum = sum + i;
    }
    return sum;
}

其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

b)加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

例2：

int cal(int n) {
    int sum_1 = 0;
    int p = 1;
    for (; p < 100; ++p) {
        sum_1 = sum_1 + p;
    }
    int sum_2 = 0;
    int q = 1;
    for (; q < n; ++q) {
        sum_2 = sum_2 + q;
    }
    int sum_3 = 0;
    int i = 1;
    int j = 1;
    for (; i <= n; ++i) {
        j = 1;
        for (; j <= n; ++j) {
            sum_3 = sum_3 + i * j;
        }
    }
    return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}

这个代码分为三部分，分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。

这里我要再强调一下，即便这段代码循环 10000 次、100000 次，只要是一个已知的数，跟 n 无关，照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。

那第二段代码时间复杂度是O(n)；第三段代码的时间复杂度是O(n*n)。

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n*n)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))。

c.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环;

例3：

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

我刚刚讲了三种复杂度的分析技巧。不过，你并不用刻意去记忆。实际上，复杂度分析这个东西关键在于“熟练”。你只要多看案例，多分析，就能做到“无招胜有招”。

4.几种常见时间复杂度实例分析

对于复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n)（2的n次方）和 O(n!)。

O(1) 常数阶：O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。
O(logn)、O(nlogn) 对数阶：对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。通过一个例子来说明一下。
```
i=1;
while (i <= n) {
    i = i * 2;
}
```
根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

通过 2x（2的x次方）=n 求解 x 。x= $\large \log 2^n$ ，所以，这段代码的时间复杂度就是 O( $\large \log 2^n$ )。
现在，我把代码稍微改下，你再看看，这段代码的时间复杂度是多少？
```
i=1;
while (i <= n) {
    i = i * 3;
}
```
据我刚刚讲的思路，很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 O( $\large \log 3^n$ )。
实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。
我们知道，对数之间是可以互相转换的， $\large \log 3^n$ 就等于 $\large \log 3^2$ * $\large \log 2^n$ ，所以 O( $\large \log 3^n$ ) = O(C * $\large \log 2^n$ )，其中 C= $\large \log 3^2$ 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。
O(m+n)、O(m*n)：我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。先看代码:
```
int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}
```
从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

5.空间复杂度分析

前面我讲过，时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

例子：

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。

6.小结

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。等你学完整个专栏之后，你就会发现几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。