笔记
本节关注在什么情况下适用动态规划方法。适合用动态规划方法求解的问题应该具备两个要素：最优子结构和子问题重叠。
1．最优子结构
以两个例子来说明如何判断一个问题是否具有最优子结构。给定一个有向图G = (V, E)和两个顶点u, v ∈ V。考虑下面两个问题。
(1) 无权最短路径：找到一条从u到v的边数最少的路径。这条路径必然是简单路径，因为如果路径中包含环，将环去掉显然可以减少边数。
无权最短路径问题具有最优子结构。假设u ≠ v。这样，从u到v的任意路径p必然包含一个中间顶点，比如w（注意，这里的w可能是u或v本身）。于是，我们可以将路径
可以断言：如果p是从u到v的最短路径，那么p1必须是从u到w的最短路径，并且p2也必须是从w到v的最短路径。因为如果从u到w存在比p1更短的路径，那么可以用这条更短的路径替换掉p1，从而得到一个更优解，所以p1必然是从u到w的最短路径。p2必然是从w到v的最短路径也是同样的道理。因此，无权最短路径问题满足最优子结构。
(2) 无权最长路径：找到一条从u到v的边数最多的简单路径。这里必须加上简单路径的要求，因为如果路径中存在环，可以绕这个环走任意的圈数，从而得到一条任意长的路径。
无权最长路径不具备最优子结构。下图给出了一个反例。考虑路径q→r→t，它是从q到t的最长简单路径。但是子路径q→r并不是从q到r的最长简单路径，q→s→t→r才是。同样，子路径r→t并不是从r到t的最长简单路径，r→q→s→t才是。因此，无权最长路径问题不具备最优子结构。
我们探讨一下最长简单路径问题不具备最优子结构的根本原因。虽然最长简单路径问题也可以划分出两个子问题，但是这两个子问题是相关的。在上面的例子中，子问题“q到r的最长简单路径”的最优解为q→s→t→r，而另一个子问题“r到t的最长简单路径”的最优解为r→q→s→t。可以看到，两个子问题的最优路径中出现了相同的顶点，这违背了简单路径的条件限制。简单路径的条件要求：如果一个顶点t在一个子问题的最优解中出现，那么在求解另一个子问题时不能用到这个顶点。因此，两个子问题并不互相独立。用更抽象的语言来描述，就是“求解一个子问题时用到了某些资源，导致这些资源在求解其他子问题时不可用”。
现在回过头来看最短简单路径问题，也举一个例子，如下图所示。显然，u到v的最短简单路径是u→w→v。我们在求解过程中，会依次考察以w和x作为中间顶点的情况。如果以x作为中间顶点，子问题u到x的最短简单路径是u→w→x，子问题x到v的最短简单路径是x→w→v，于是得到u到v的路径为u→w→x→w→v。可以看到，这并不是一条简单路径，并且两个子问题的路径中出现了相同的顶点w。因此，以x作为中间顶点的情况，两个子问题也不是互相独立的，但这并不是问题的最优解。最优解是以w作为中间结点的情况，在这种情况下，两个子问题是互相独立的。
只要最优解满足子问题互相独立的条件，即使求解过程中遇到的一些非最优解存在子问题不相互独立的情况，我们也可以采用动态规划方法来求解。在最短简单路径问题中，因为最优解必然是一条简路径，故而最优解的子问题一定是互相独立的。
2．子问题重叠
如果一个问题具备最优子结构，并且求解过程中需要反复地求解相同的子问题，采用动态规划方法才有意义。动态规划的一个特点是，为节省算法运行时间，每个子问题只求解一次，并且将子问题的解保存下来。动态规划的两种求解方式都体现了这一特点。
(1) 按照规模由小到大的顺序求解子问题。在求解一个规模较大的子问题时，它所依赖的规模较小的子问题都已经求解了，并且这些规模较小的子问题的解已经被保存下来，可以直接引用。
(2) 带备忘的递归方式。按照从上到下的递归方式求解问题。如果在递归过程中遇到一个新的子问题，直接求解它，并将它的解保存起来；如果遇到一个旧的子问题，它已经被求解过，直接引用它的解。
练习
15.3-1 对于矩阵链乘法问题，下面两种确定最优代价的方法哪种更高效？第一种方法是穷举所有可能的括号化方案，对每种方案计算乘法运算次数；第二种方法是运行RECURSIVE-MATRIX-CHAIN。证明你的结论。（下面给出了方法二的伪代码。）
解
方法一是穷举所有可能的括号化方案，书本中给出了它的运行时间的下限是
现在我们求解方法二的运行时间。方法二是运行RECURSIVE-MATRIX-CHAIN。根据代码一，可以写出它的运行时间的递归式为
O(1)表示运行时间不超过常数时间，可以用两个正常数a和b分别替代递归式中的两个O(1)，并将等式变为不等式，如下所示。
上式中，
… …
… …
因此，上面的递归式可以写为
通过画递归树，可以推测该递归式的解为
用代入法，我们可能会很自然地假设
取初始条件
现在考虑n > 1的情况。假设存在c > 0，使得
为方便起见，假设取s = a/2，那么上式可以写为
只要取足够大的c，就能使
综上所述，只要选取合适的s（例如s = a/2），并且选取足够大的c，就能使
现在比较方法一和方法二的运行时间。方法一的运行时间的下限是
笔者在网上看到，该习题的大多数解答给出的方法二的运行时间为
15.3-2 对一个16个元素的数组，画出2.3.1节中MERGE-SORT过程运行的递归调用树。解释备忘技术为什么对MERGE-SORT这种分治算法无效。
解
用(i, j)代表归并排序位置i ~ j的元素。下图为16个元素的递归树。
MERGE-SORT虽然把排序问题划分为子问题，然而子问题并不重叠，所以没有必要采用备忘的方法。
15.3-3 考虑矩阵链乘法问题的一个变形：目标改为最大化矩阵序列括号化方案的标量乘法运算次数，而非最小化。此问题具有最优子结构性质吗？
解
此问题也具有最优子结构性质。用m[i, j]表示计算矩阵链
15.3-4 如前所述，使用动态规划方法，我们首先求解子问题，然后选择哪些子问题用来构造原问题的最优解。Capulet教授认为，我们不必为了求原问题的最优解而总是求解出所有子问题。她建议，在求矩阵链乘法问题的最优解时，我们总是可以在求解子问题之前选定AiAi+1…Aj的划分位置Ak（选定的k使得pi-1pkpj最小）。请找出一个反例，证明这个贪心方法可能生成次优解。
解
假设要求3个矩阵的乘积A1A2A3，其中，A1为2×3矩阵，A2为3×4矩阵，A3为4×4矩阵。按照Capulet的算法，A1A2A3的计算顺序应当为( A1 ( A2 A3 ) )，这种方案的代价为
(3 × 4 × 4) + (2 × 3 × 4) = 72
然而上面这种方案并不是代价最小的。因为如果计算顺序为( ( A1 A2 ) A3 )，才会得到最小代价
(2 × 3 × 4) + (2 × 4 × 4) = 56
在求解A1A2A3时，虽然从A1处划分所得到的局部代价2 × 3 × 4 = 24比从A2处划分所得到的局部代价2 × 4 × 4 = 32要小，然而子问题A2A3的代价3 × 4 × 4 = 48比子问题A1A2的代价2 × 3 × 4 = 24要大，综合起来看，从A1处划分虽然局部最优，但并不是问题的全局最优解。
15.3-5 在15.1节的钢条切割问题中，加入限制条件：切割一段长钢条，得到的长度为i的短钢条的数目不能超过
解
15.1节的最优子结构，其递归式如下所示。
我们现在直接套用这个递归式来分析这个问题。切割一段长度为n的钢条，假设切割下来的第一段长度为i。在求解子问题时，也就是在切割长度为n-i的钢条时，假设切割下来的长度为i的短钢条的数目刚好为最大值
从另一个角度分析，在求解子问题时，也就是在切割长度为n-i的钢条时，切割下来的长度为i的短钢条的数目不能超过
15.3-6 假定你希望兑换外汇，你意识到与其直接兑换，不如进行多种外币的一系列兑换，最后兑换到你想要的那种外币，可能会获得更大收益。假定你可以交易n种不同的货币，编号为1, 2, … , n。兑换从1号货币开始，总终兑换为n号货币。对每两种货币i和j，给定汇率rij，意味着你如果有d个单位的货币i，可以兑换drij个单位的货币j。进行一系列的交易需要支付一定的佣金，金额取决于交易的次数。令ck表示k次交易需要支付的佣金。证明：如果对所有k = 1, 2, … , n，ck = 0，那么寻找最优兑换序列的问题具有最优子结构性质。然后请证明：如果佣金ck为任意值，那么问题不一定具有最优子结构性质。
该题笔者无法解答，希望有高手来指点。