粗糙集理论
粗糙集理论（Rough Set theory）是一个种处理数据分类的数据挖掘方法。当数据属于定性数据或不确定性数据，无法使用一般的统计方法时，粗糙集理论可以在信息不完整和信息不一致下，用来规约数据集合，发掘隐藏的数据阳性和数据相关性，以产生有用的分类规则。
粗糙集理论现在主要应用在①临床医疗诊断；②电力系统和其他工业过程故障诊断；③预测与控制；④模式识别与分类；⑤机器学习和数据挖掘； ⑥图像处理等方面。
粗糙集理论基础：
信息系统：是四元组（U，Q，V，f）其中U是对象集合，Q是属性集合，V是属性的值域，f是一种映射，反应对象集合之间值。
不可分辨关系IND（P）/等价关系：分类过程中，相差不大的个体被归于同一类。
下近似：集合X关于I的下近似（Lower approximation）是由那些根据现有知识判断肯定属于X的对象所组成的最大集合。
上近似：集合X关于I的上近似（Upper approximation）是由所有与X相交非空的等效类I（x）的并集，是那些可能属于X的对象组成的最小集合。
精确集合：上下近似相等。
粗糙集：上下近似不等。
正区域：下近似
负区域：上近似以外的区域。
边界：上下近似的差。
粗糙度：下近似集合的基数或势（元素个数）/上近似的基数或势（元素个数）。
粗糙集理论产生的分类规则：
可以从训练数据集中，应用粗糙集理论与支持度门槛产生候选规则，并利用测试数据集计算候选规则的置信度和增益，以验证提取之候选规则作为最终的分类规则。
在建立候选规则之前，以随机的方式将决策表分成两组：a%的数据视为训练数据组；1-a%的数据视为测试数据组。产生分类规则的步骤如下：
定义候选规则所需之支持度门槛值θ。
建立决策表与数据集。
若遇到属性为连续型属性，则需要经过离散化，将连续型数据分为区间，否则直接进入步骤（4）
取得训练组数据集的简化（reducts）
根据领域专业知识判定于步骤（4）所产生的reducts是否合适。
根据筛选后所剩下的reducts组而找到规则
输入所有训练数据集，并计算所有产生规则的支持度。若该规则支持度大于门槛值θ，则应将该规则放入候选集合中；若该规则的支持度小于门槛值θ，则移除该规则。
直到所有规则均完成支持度门槛值的校验后，即可停止产生规则，并与领域专家讨论，提出不符合实务的候选规则。
接着使用测验数据组验证中训练数据所取得的候选规则，并以置信度与增益作为应选候选规则的门槛值。步骤如下：
设定置信度与增益门槛值，分别为θ1和θ2.
输入所有测试数据集，以计算各候选规则的置信度与增益。
若置信度大于门槛值θ1，且增益大于门槛值，则此候选规则将通过测试，并作为最终分类规则；若改规则的置信度小于门槛值θ2，则移除该候选规则。
直到所有候选规则均完成置信度与增益的检验后，即完成产生分类规则的步骤，再与领域专家确认规则意义。
以下内容为复制的百度百科内容：以方便加深对粗糙集理论的理解
粗糙集合论回答了上面的这些问题。要想了解粗糙集合论的思想，我们先要了解一下什么叫做知识？假设有8个积木构成了一个集合A，我们记：A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}，每个积木块都有颜色属性，按照颜色的不同，我们能够把这堆积木分成R1={红，黄，蓝}三个大类，那么所有红颜色的积木构成集合X1={x1,x2,x6}，黄颜色的积木构成集合X2={x3,x4}，蓝颜色的积木是：X3={x5,x7,x8}。按照颜色这个属性我们就把积木集合A进行了一个划分(所谓A的划分就是指对于A中的任意一个元素必然有且仅属于一个分类），那么我们就说颜色属性就是一种知识。在这个例子中我们不难看到，一种对集合A的划分就对应着关于A中元素的一个知识，假如还有其他的属性，比如还有形状R2={三角,方块,圆形}，大小R3={大,中,小}，这样加上R1属性对A构成的划分分别为：
A/R1={X1,X2,X3}={{x1,x2,x6},{x3,x4},{x5,x7,x8}} （颜色分类）
A/R2={Y1,Y2,Y3}={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}} （形状分类）
A/R3={Z1,Z2,Z3}={{x1,x2,x5},{x6,x8},{x3,x4,x7}} （大小分类）
上面这些所有的分类合在一起就形成了一个基本的知识库。那么这个基本知识库能表示什么概念呢？除了红的{x1,x2,x6}、大的{x1,x2,x5}、三角形的{x1,x2}这样的概念以外还可以表达例如大的且是三角形的{x1,x2,x5}∩{x1,x2}={x1,x2}，大三角{x1,x2,x5}∩{x1,x2}={x1,x2}，蓝色的小的圆形({x5,x7,x8}∩{x3,x4,x7}∩{x3,x4,x6,x7}={x7}，蓝色的或者中的积木{x5,x7,x8}∪{x6,x8}={x5,x6,x7,x8}。而类似这样的概念可以通过求交运算得到，比如X1与Y1的交就表示红色的三角。所有的这些能够用交、并表示的概念以及加上上面的三个基本知识(A/R1,A/R2.A/R3)一起就构成了一个知识系统记为R=R1∩R2∩R3，它所决定的所有知识是A/R={{x1,x2},{x3,x4},{x5},{x6},{x7},{x8}}以及A/R中集合的并。
下面考虑近似这个概念。假设给定了一个A上的子集合X={x2,x5,x7}，那么用我们的知识库中的知识应该怎样描述它呢？红色的三角？黄色的大圆？都不是，无论是单属性知识还是由几个知识进行交、并运算合成的知识，都不能得到这个新的集合X，于是 我们只好用我们已有的知识去近似它。也就是在所有的现有知识里面找出跟他最像的两个一个作为下近似，一个作为上近似。于是我们选择了“蓝色的大方块或者蓝色的小圆形”这个概念：{x5,x7}作为X的下近似。选择“三角形或者蓝色的”{x1,x2,x5,x7}作为它的上近似，值得注意的是，下近似集是在那些所有的包含于X的知识库中的集合中求交得到的，而上近似则是将那些与X有交集的知识库中的集合求并得到的。一般的，我们可以用下面的图来表示上、下近似的概念。
这其中曲线围的区域是X的区域，蓝色的内部方框是内部参考消息，是下近似 ，绿的是边界加上蓝色的部分就是上近似集。其中各个小方块可以被看成是论域上的知识系统所构成的所有划分。
整个粗集理论的核心就是上面说的有关知识、集合的划分、近似集合等等概念。下面我们讨论一下关于粗糙集在数据库中数据挖掘的应用问题。考虑一个数据库中的二维表如下：
元素 颜色 形状 大小 稳定性
x1 红 三角 大 稳定
x2 红 三角 大 稳定
x3 黄 圆 小 不稳定
x4 黄 圆 小 不稳定
x5 蓝 方块 大 稳定
x6 红 圆 中 不稳定
x7 蓝 圆 小 不稳定
x8 蓝 方块 中 不稳定
可以看出，这个表就是上面的那个例子的二维表格体现，而最后一列是我们的决策属性，也就是说评价什么样的积木稳定。这个表中的每一行表示了类似这样的信息：红色的大三角积木稳定，**的小圆形不稳定等等。我们可以把所有的记录看成是论域A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}，任意一个列表示一个属性构成了对论域的元素上的一个划分，在划分的每一个类中都具有相同的属性。而属性可以分成两大类，一类叫做条件属性：颜色、形状、大小都是，另一类叫做决策属性：最后一列的是否稳定？下面我们考虑，对于决策属性来说是否所有的条件属性都是有用的呢？考虑所有决策属性是“稳定”的集合{x1,x2,x5}，它在知识系统A/R中的上下近似都是{x1,x2,x5}本身，“不稳定”的集合{x3,x4,x6,x7,x8}，在知识系统A/R中的上下近似也都是{x3,x4,x6,x7,x8}它本身。说明该知识库能够对这个概念进行很好的描述。下面考虑是否所有的基本知识：颜色、形状、大小都是必要的？如果我们把这个集合在知识系统中去掉颜色这个基本知识，那么知识系统变成A/(R-R1)={{x1,x2},{x3,x4,x7},,,}以及这些子集的并集。如果用这个新的知识系统表达“稳定”概念得到上下近似仍旧都是：{x1,x2,x5}，“不稳定”概念的上下近似也还是{x3,x4,x6,x7,x8}，由此看出去掉颜色属性我们表达稳定性的知识不会有变化，所以说颜色属性是多余的可以删除。如果再考虑是否能去掉大小属性呢？这个时候知识系统就变为：
A/(R-R1-R3)=A/R2={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}}。同样考虑“稳定”在知识系统A/R2中的上下近似分别为：{x1,x2,x5,x8}和{x1,x2}，已经和原来知识系统中的上下近似不一样了，同样考虑“不稳定”的近似表示也变化了，所以删除属性“大小”是对知识表示有影响的故而不能去掉。同样的讨论对于“形状”属性，“形状”属性是不能去掉的。A/(R-R2)={{x1,x2},x6,{x3,x4},x5,x7,x8}，通过求并可以得知“稳定”的下近似和上近似都是{x1,x2,x5}，“不稳定”的上下近似都是{x3,x4,x6,x7,x8}。最后我们得到化简后的知识库R2,R3，从而能得到下面的决策规则：大三角->稳定，大方块->稳定，小圆->不稳定，中圆->不稳定，中方块->不稳定，利用粗集的理论还可以对这些规则进一步化简得到：大->稳定，圆->不稳定，中方块->不稳定。这就是上面这个数据表所包含的真正有用的知识，而这些知识都是从数据库有粗糙集方法自动学习得到的。因此，粗糙集是数据库中数据挖掘的有效方法。
参考资料：
【1】简祯富,许嘉裕 大数据分析与数据挖掘
【2】Jiawei Han, Micheline Kamber, Jian Pei 数据挖掘概念与技术
其他资料：
QFge-GAzc5acRFvGPnn1aTEYuvMtiMCeKVVTWwn2mlHnVAm-b0a7XCB0Ng-hqm64XyPTqklS9g36Z”>http://baike.baidu.com/link?url=Z3cSiqNxf0CTiToBZQbghEQcPd4xhbpxUdYzPpRCAf5yUygoPKHzOGuXvw6Z6FBg-S0ovc-QFge-GAzc5acRFvGPnn1aTEYuvMtiMCeKVVTWwn2mlHnVAm-b0a7XCB0Ng-hqm64XyPTqklS9g36Z
https://wenku.baidu.com/view/1d194945581b6bd97e19ea45.html