次梯度（subgradient）方法

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/quiet_girl/article/details/79648124

写在前面

本篇博客来自其他几篇博客的整合（详见参考文献），主要是提取了一些利于自己理解的小点。

一、为什么需要次梯度方法

次梯度方法是传统梯度下降算法的拓展，传统梯度下降算法是为了解决可导凸函数的问题，而次梯度方法主要是为了解决不可导梯度的问题。但是其算法收敛速度会相对较慢。

二、次梯度的定义

次梯度是指对于函数$f$上的点$x$满足一下条件的$g \in \mathbb{R}^n$:

$f(y) \geq f(x) + g^T(y-x)$
即，
（1）若 $f$是一个凸函数，若 $f$在x处可导，则由一阶泰勒展开式：
$f(y) \geq f(x) + \bigtriangledown f(x)^T(y-x)$
（2）若 $f$在x处不可导，则仍可得到一个下届：
$f(y) \geq f(x) + g^T(y-x)$
这个 $g$就是 $f$的子梯度。
注意：虽然次梯度是针对不可导函数而设计的，但是可导函数也仍然可以使用，因此 $f$是非凸函数也是可以的。

三、次梯度的计算方法

在点$x_0$的次导数的集合是一个非空闭区间[a, b]，其中a和b是单侧极限
$a=\lim_{x->x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，$a=\lim_{x->x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
a和b一定存在，且a≤b。所有次导数的集合[a, b]称为函数$f$在$x_0$的次导数。

四、次梯度的举例

$f(x)=|x|$在$x=0$的次梯度为[-1, 1]。
$a=\lim_{x->0^-}\frac{|x|-0}{x}=\frac{-x}{x}=-1$，
$b=\lim_{x->0^+}\frac{|x|-0}{x}=\frac{x}{x}=1$
因此，$f(x)=|x|$在$x=0$的次梯度为[-1, 1]。

五、次梯度的性质

• 数乘不变性。$\forall \alpha≥0, \partial(\alpha f)(x)=\alpha \partial f(x)$
• 加法不变性。$f=f_1+...+f_m, \partial f(x)=\partial f_1(x)+...+\partial f_m(x)$
• 放射特性。如果$f$是凸函数，那么$\partial f(Ax+b)=A^T \partial f(Ax+b)$

六、次梯度算法

次梯度算法与梯度下降类似，仅仅是使用次梯度代替梯度，即：
$x^{(k)}=x^{(k-1)}-t_k \cdot g^{(k-1)}, k=1,2,3...$
其中，$g^{(k-1)} \in \partial f(x^{(k-1)})$为$f(x)$在x处的次梯度。
与梯度下降算法不同的地方在于，次梯度算法并不是下降算法，每次对于参数的更新并不能保证代价函数是呈单调递减的趋势。

参考文献：
https://www.52ml.net/20973.html
https://blog.csdn.net/lansatiankongxxc/article/details/46386341
https://www.cnblogs.com/connorzx/p/4797194.html