对索伯列夫空间的一个浅显易懂的解释

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索伯列夫空间理论是上个世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev发展起来的。这些空间是由多个实变量的弱可微函数所组成的Banach空间，它们是为研究偏微分方程的近代理论极易研究与数学分析有关的领域中许多问题的需要而产生的。
但目前的绝大多数文献并没有用通俗易懂的语言去解释引入索伯列夫空间的意义。这造成了大部分读者一头雾水。我前段时间见识过某普通大学的一位数学系老师教了十多年的泛函分析但还是无法理解索伯列夫空间。当然，本人也不是高手，所讲的也未必正确，但我的初衷是能给读者一些启发，以及文中有不当之处有老师能不吝赐教。

1 $Dirichlet$原理

微分方程是伴随着微积分的产生而产生的。而微分方程的核心问题是求解问题，直到19世纪中叶，下列$Dirichlet$问题：
求 $u(x,y)\in C^{2}(\Omega )\cap C(\bar{\Omega })$ 满足

$$\begin{matrix} \bigtriangleup u=0 & in \Omega \\ u=\varphi& on \partial \Omega \end{matrix} {(1.1)}$$
其中， $\varphi \in C(\partial \Omega )$,仍是当时的一个重大问题，德国数学家Riemann随后提出了著名的 $Dirichlet$原理：
当 $u_{0}\in A\equiv \left \{ u\in C^{1} (\Omega )\mid u_{x},u_{y}\in L^{2}(\Omega ),u\mid _{\partial \Omega }=\varphi \right \}$使得 $$I(u)\equiv \int_{\Omega }^{ }\left | \triangledown u \right |^{2}dxdy=\int_{\Omega }^{ }(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})dxdy{(1.2)}$$

达到最小值，则$u_{0}$必是（1.1）式的解。
因对任意$u\in A,I(u)\geqslant 0$，故$\underset{A}{inf}I(u)$存在，Riemann认定，必存在$\bar{u}\in A$，使得

$$I(\bar{u})=\underset{A}{inf}I(u)=\underset{A}{min}I(u){(1.3)}$$
当时，人们认为这是无可置疑的，但在1870年法国数学家Weierstrass用巧妙的数学证明推翻了这个论断。数学家们意识到，Riemann所建立的数学模型有缺陷，无法准确用来描述微分方程解的函数空间。接下来的当务之急就是建立能够很好的描述微分方程解及边值问题的理论体系。首先遇到的问题是如何把函数的概念及方程解的概念拓广，这就要引入检验函数的概念，它的严格的数学基础是在20世纪40年代有Schwartz等人完成的，但在本文并不打算讨论广义函数。

2 检验函数的基本空间$\mathbb{D}(\Omega )$（ the basic space of test function ）

基本空间是指一类“性质很好”的空间。这里需要先引入支集的概念：
设$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$是一个开集，$u\in C(\bar{\Omega })$，称集合

$$F=\left \{ x\in \Omega \mid u(x)\neq 0 \right \}{(2.1)}$$
的闭包（关于 $\Omega$）为 $u$的关于 $\Omega$的支集，记作 $suppu$。换句话说，连续函数 $u$的支集是在此集外 $u$恒为0的相对于 $\Omega$的最小闭集。
对于整数 $K\geqslant 0$(可以是 $\infty$)， $C_{0}^{k}(\Omega )$表记支集在 $\Omega$内紧的全体 $C^{k}(\Omega )$函数所组成的集合。在历史上，紧集的引入是为了建立豪斯多夫空间。这里引入紧支集的目的是为了基本空间的完备性。就像一个经典的定理：连续映射将紧集映射为紧集。这样就可以保证了在该空间上应用连续函数的合理性。
所谓基本空间 $\mathbb{D}(\Omega )$就是指 $C_{0}^{\infty }(\Omega )$,并且满足下述的收敛性：
我们说序列 $\left \{ \varphi _{j} \right \}$收敛于 $\varphi _{0}$，如果
1. 存在一个相对于 $\Omega$的紧集 $K\subset \Omega$，使得 $supp(\varphi _{j})\subset K(j=0,1,2,\cdots )$;
2. 对于任意指标 $a=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$，都有 $$\underset{x\in K}{max}\left |\partial ^{a}\varphi _{j} (x)-\partial ^{a}\varphi _{0} (x) \right |\rightarrow 0(j\rightarrow \infty )$$
这样的空间是能够满足我们微分方程的解的需求的（通过引入广义解）。但它有一个缺陷，使得我们在使用它时并不是很方便，我们只在 $\mathbb{D}(\Omega )$上引进了收敛性，并没有给定拓扑，也就是说并没有定义范数。所以 $\mathbb{D}(\Omega )$并不是Banach空间。
接下来的思路自然是能不能找到另外一个模型，使得在结构上等于或者趋近于 $\mathbb{D}(\Omega )$。而且近似的满足Banach空间的拓扑结构呢？

3 $\mathbf{B}_{0}$空间

我们想用模来刻画上述的这种收敛性。事实上，可以引入可数个模（半模）：

$$\left \| \varphi \right \|_{m}=\sum_{\left | a \right |\leqslant m}^{ }\underset{x\in K}{max}\left | \partial ^{a} \varphi (x)\right |\left ( m=1,2,\cdots \right ){(3.1)}$$
所以显而易见， $\mathbb{D}(\Omega )$上的收敛性可以由这可数个模来描写的：为了 $\varphi _{j}\rightarrow \theta (\mathbb{D}(\Omega ))$，其中 $\theta$为零函数，必须且仅需 $\forall m\in N$，有 $$\left \| \varphi _{j} \right \|_{m}\rightarrow 0\left ( j\rightarrow 0 \right ){(3.2)}$$
即 $\forall \varepsilon > 0,\forall m\in N,\exists N=N(\varepsilon ,m)$，使得 $\left \| \varphi _{j} \right \|_{m}< \varepsilon \left ( j< N \right )$。
$\mathbb{D}(\Omega )$定义了如上的可数个半模，即为 $\mathbf{B}_{0}$空间。
到这里了，似乎结果已经挺完满，可数学家们不可能停滞，还想：是否能用一个范数来近似的刻画这可数个半模？或者更加好的结果，能否定义一个Banach空间来刻画或者近似的刻画这样的数学模型？自然想到了用加和的形式定义范数。这就引出了索伯列夫空间。

4 索伯列夫空间（Sobolev）

本文写的较为浅显，目的只是对索伯列夫空间的由来提供自己的一点点思路，很多知识点没有引出，在这里，索伯列夫空间仅指整指数的索伯列夫空间。
定义：设$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$是一个开集，$m$是非负整数，$1\leqslant p< \infty$，称集合

$$W^{m,p}(\Omega )=\left \{ u\in L^{p}(\Omega )\mid \tilde{\partial ^{a} }u \in L^{p}(\Omega ),\left | a \right |\leqslant m \right \}{(4.1)}$$
按模 $$\left \| u \right \|_{m,p}=\left ( \sum_{\left | a \right |\leqslant m}^{ }\left \| \tilde{\partial }^{a} u\right \| _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right ) ^{\frac{1}{p}}= \left ( \sum_{\left | a \right |\leqslant m}^{ }\int_{\Omega }^{ }\left | \tilde{\partial ^{a}}u(x) \right |^{p}dx \right )^{\frac{1}{p}}{(4.2)}$$ 构成的空间为索伯列夫空间。记为 $W^{m,p}(\Omega )$或 $W_{p}^{m}(\Omega )$。其中， $\tilde{\partial }^{a}=(-1)^{a}(\partial ^{a})^{\ast }$是广义微商运算，即 $\forall f\in \mathbb{D}^{'}(\Omega )$， $\left \langle \tilde{\partial }^{a} f,\varphi \right \rangle=(-1)^{\left | a \right |}\left \langle f,\partial ^{a} \varphi \right \rangle\left ( \forall \varphi \in \mathbb{D}(\Omega ) \right )$。该运算法则巧妙的将泛函的微分转移到普通函数上面，是通过格林公式（或者分部积分法）推导出来的，这里就不详述。
容易得出，该范数可以近似的描述上述的可数模，并且满足范数的性质。另外可以证明 $W_{p}^{m}(\Omega )$是完备的，是Banach空间，特别的，当 $p=2$时，是希尔伯特空间（定义内积为： $\left ( u,v \right )_{m,2}=\sum_{\left | a \right |\leqslant m}^{ }\left ( \tilde{\partial }^{a} u,\tilde{\partial }^{a} v\right )_{2}=\sum_{\left | a \right |\leqslant m}^{ }\int_{\Omega }^{ }\tilde{\partial }^{a} u\overline{\tilde{\partial }^{a} v}dx$）。并且 $\mathbb{D}(\Omega )$在 $W_{p}^{m}(\Omega )$中是稠密的。
除此之外，可以定义 $W_{0}^{m,p}$是 $C_{0}^{\infty }(\Omega )$在 $W_{p}^{m}(\Omega )$中的闭包。则 $W_{0}^{m,p}$也是Banach空间，且满足： $W_{0}^{m,p}(\mathbb{R}^{n})=W^{m,p}(\mathbb{R}^{n})$。
至此，良好的数学模型就建立起来了，我们可以用它来解决前面的 $Dirichlet$问题。
考虑 $Dirichlet$问题
$$\begin{matrix} -\triangle u=f & in \Omega \\ u=0 & on \partial \Omega \end{matrix}{(4.3)}$$
若存在 $u\in C^{2}(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$使得
$$J(u)=\underset{v\in W_{0}^{1,2}}{min}J(v){(4.4)}$$
其中 $$J(v)=\frac{1}{2}\int_{\Omega }^{ }\left | \triangledown v \right |^{2}-\int_{\Omega }^{ }fv{(4.5)}$$
则称 $u$是式4.3的广义解（弱解）。
利用Sobolev空间的理论，不难证明式4.4当 $f\in L^{2}(\Omega )$时必存在唯一解，即式4.3存在唯一广义解，即解决了 $Dirichlet$问题。

参考文献：
[1] 泛函分析讲义 张恭庆 林源渠著

[2] 索伯列夫空间讲义 王元明 徐君祥著

[3] 应用泛函分析 JEAN-PIERRE AUBIN原著 国立编译馆主编 赖汉卿译

[4] 广义函数理论 L．施瓦兹著 姚家燕译

[5] Wikipedia,the free encyclopedia that anyone can edit.5,035,994 articles in English.

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