学习笔记第十八节：卡特兰数

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前话

      本楼主是蒟蒻，居然最近才搞懂了卡特兰数，在这里总结一下，最基础的总结。

正题

      定义卡特兰数为：

      卡特兰数的递推式是：

      然后有人证出来了一个朴素的递推公式：

      是不是很神奇，为什么呢？

      我也不会，毕竟那个人不是我。

      接着，经过不断摸索，有人解出来了这个递推式的解：

      是不是很神奇，为什么呢？

      我也不会，毕竟那个人不是我。

      卡特兰数就是这样一个很神奇的东西。

      如果在比赛中发现一组线性答案长得是这样的：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012……

      那么你就可以简单的断定它的答案是可以O(1)算的

应用

      如果在比赛中不想找规律呢？

      那么您就要先掌握几个简单的应用以至于在比赛中不会懵逼简单地Ak。

    第一个：

      n个0和n个1，求有多少种方案使得每个前缀的 。

      首先，全部方案是，很明显的

      其次，讨论不满足的，存在一个奇数使得前个中有个1和个0。

      把后面的位都取反，就会变得一共有个0和个1。

      反过来，一个有 个0和个1肯定对应一个唯一的不满足的序列。

      因为存在一个奇数使得前面的0比1多，然后把后面翻转过来又变成n个0和n个1的序列。

      所以不成功的方案数就是：

      成功方案就是：

    第二个：

      一个n个节点的二叉树的形态总数有多少？

      明显选取一个点做根，两边分别Dp即可。

      

       所以答案就是卡特兰数。

       还有很多很多，比如说：平面直角坐标系上跑有多少种方案，三角形划分，区域划分，大多都是运用公式本身的性质体现出来的卡特兰数，或者在比赛中隐藏的找规律，需要做题练习。