求树上每两点的距离之和

给定一棵n个节点的树和n-1条边的权值，求每两点间的权值的总和。\((n \leq 1e5)\)

• 暴力做法
  求出每两个点的\(lca (O(nlogn)\)预处理，\(O(logn)\)查询)，预处理路径前缀和后\(O(1)\)求得
  \(n^2\)数量级的点对,时间复杂度\(O(n^2logn)\)，TLE了。

• 正解:统计每条边被经过的次数，乘以权值，求和

1.每条边连接了两个联通块\(a b\)，一个有\(k\)个点，一个有\(n-k\)个点。
2.因为要求的是任意两点的距离和，故每条边在\(a\)中的每一个点与\(b\)中的每一个点的路径上出现，即出现了\(k*(n-k)\)次，再乘以权值即可。
3.做一遍预处理，对每个节点求出子树大小，即可在\(O(n)\)的时间内求出每两点的权值总和

主要代码：

int siz[maxn];
void dfs(int u, int fa)
{
    siz[u] = 1;
    ou[u] = ou[fa] ^ 1;
    for (auto v:G[u])
    {
        if (v != fa)
        {
            dfs(v, u);
            siz[u] += siz[v];
        }
    }
}

for (int i = 1; i <= n; ++i)
        ans += 1ll * siz[i] * (n - siz[i]) * w[i];