BZOJ1778: [Usaco2010 Hol]Dotp 驱逐猪猡

BZOJ

题意

给你一张 $n$个点 $m$条边的无向图,最开始有一颗炸弹在一号节点,它有 $\frac{p}{q}$的概率爆炸,如果没有爆炸,它会等概率的移动到另一个与当前节点相连的点,问炸弹分别在每个点爆炸的概率;

题解

考虑一维的向量矩阵 $A$,第 $i$位表示炸弹停留在第 $i$个点的概率为 $A_{i}$,那么初始时炸弹停在 $1$号节点上 $A=\{1,0,0...0,0\}$;考虑转移,设 $D_i$表示 $i$点的度数,那么有 $A_i=\sum(1-\frac{p}{q})*\frac{1}{D_j}*A_j$( $j$为 $i$能到达的点);那么我们建立一个 $n*n$的矩阵 $B$, $B_{ij}=(1-\frac{p}{q})*\frac{1}{D_j}$,那么最终的答案矩阵 $Ans=\frac{p}{q}*(A+A*B+A*B^2+...+A*B^\infty)$;用无穷等比数列求和公式得到 $Ans=\frac{\frac{p}{q}*A}{I-B}$( $I$为单位矩阵);推到这里其实有个很巧的地方,那就是 $Ans$和 $A$都是一维的向量矩阵,有 $Ans*(I-B)=\frac{p}{q}*A$, $I-B$能直接算,再模拟一下矩阵乘法的过程,发现 $Ans$其实是可以用高斯消元解出来的,最后再注意一下精度问题就行了;

#include<bits/stdc++.h>
#define Fst first
#define Snd second
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned int UI;
typedef unsigned long long ULL;
template<typename T> inline void read(T& x) {
	char c = getchar();
	bool f = false;
	for (x = 0; !isdigit(c); c = getchar()) {
		if (c == '-') {
			f = true;
		}
	}
	for (; isdigit(c); c = getchar()) {
		x = x * 10 + c - '0';
	}
	if (f) {
		x = -x;
	}
}
template<typename T, typename... U> inline void read(T& x, U& ... y) {
	read(x), read(y...);
}
const int N=3e2+10;
const double eps=1e-15;
int n,m,p;
int In[N],head[N];
double P,Q;
double A[N][N];
struct Edge {
	int to,last;
	Edge () {}
	Edge (int a,int b) :to(a),last(b) {}
}edge[100010];
void ADD(int a,int b) {
	edge[++p]=Edge(b,head[a]); head[a]=p;
	edge[++p]=Edge(a,head[b]); head[b]=p;
}
void Gauss() {
	for(int i=0;i<n;++i) {
		int r=i;
		for(int j=i+1;j<n;++j) if(fabs(A[j][i])>fabs(A[r][i])) r=j;
		if(r!=i) for(int j=0;j<=n;++j) swap(A[r][j],A[i][j]);
		for(int j=i+1;j<n;++j)
			for(int k=n;k>=i;--k)
				A[j][k]-=A[j][i]/A[i][i]*A[i][k];
	}
	for(int i=n-1;~i;--i) {
		for(int j=i+1;j<n;++j)
			A[i][n]-=A[i][j]*A[j][n];
		A[i][n]/=A[i][i];
	}
}
int main() {
	read(n,m); scanf("%lf%lf",&P,&Q); P/=Q;
	for(int i=1;i<=m;++i) {
		int u,v; read(u,v); --u; --v;
		++In[u]; ++In[v];
		ADD(u,v);
	}
	A[0][n]=1;
	for(int u=0;u<n;++u) {
		A[u][u]=1;
		for(int i=head[u];i;i=edge[i].last) {
			int v=edge[i].to;
			A[u][v]=-(1.0-P)/In[v];
		}
	}
	Gauss();
	for(int i=0;i<n;++i) printf("%.9lf\n",A[i][n]*P+eps);
	return 0;
}