1005: [HNOI2008]明明的烦恼[prufer序列+组合数学]

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题意：有一个n个点的无根树，已经知道了它每个点的度数（也有可能没有限制），询问有多少种形式的无根树满足上述条件。

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前置技能：

prufer序列

定义
任何一个无根树都可以由一个 $prufer$序列来唯一表示，其中度为 $d$的节点在序列中出现 $d - 1$次。
构造 $prufer$序列：
首先选择节点序号最小的叶子节点，然后将与它相连的节点加入序列，然后把它自己删掉，直到树剩下只有两个节点为止。
$example：$

如上图所以我们求他的prufer序列：

1. 选择最小的叶子节点 $2$然后将与它相连的点加入序列，得到 $\{3\}$
2. 然后删除 $2$，重复第一步得到 $\{3, 5\}$
3. 直到最后剩下 $3,6$，得到prufer序列 $\{3, 5, 1, 3\}$
   还原

仍为上面的树，Prufer序列为{3,5,1,3}，开始时G={1,2,3,4,5,6}，未出现的编号最小的点是2，将2和3连边，并删去Prufer序列首项和G中的2。接下来连的边为{4,5},{1,5},{1,3},此时集合G中仅剩3和6，在3和6之间连边，原树恢复。

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题解:
由上面我们知道一个无根树可以由 $n-2$长度的 $prufer$序列表示，然后每个度为d的节点出现次数为 $d - 1$，那么我们可以知道除掉位置度数节点后的排列数为 $C_{n - 2}^{tot}$，然后在每一个排列中放值第一个节点的方案数为 $C_{tot}^{d[1] - 1}$，放第二个节点的方案数为 $C_{tot - (d[1] - 1)}^{d[2] - 1}$，以此类推得到其他的，那么剩余位置度数节点的方案为 $m^{n - 2 - tot}$，也就是在剩余的位置中排列即可

最后的答案为：

$ans = \frac{(n - 2)!}{(n - 2 - tot)! * tot!} * \frac{tot!}{(tot - (d[1] - 1))!*(d[1] - 1)!} *\dots* \frac{(d[n] - 1)!}{(d[n] - 1)!*0!} * m^{n - 2 - tot}$
通过约分化简可以得到

$ans = \frac{(n - 2)!}{(n - 2 - tot)! } * \frac{1}{(d[1] - 1)!} *\dots* \frac{1}{(d[n] - 1)!} * m^{n - 2 - tot}$

即为：
$ans = \frac{(n - 2)!}{(n - 2 - tot)! } * \Pi_{i = 1}^{n}{\frac{1}{(d[i] - 1)!}} * m^{n - 2 - tot}$

因为n的范围为[1, 1000]，所以要涉及到高精度的问题，我用Java大数解决的，巨佬们可以用素数优化一下。

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$ac\ code:$

import java.util.*;
import java.math.*;


public class Main {
	public static void main(String [] args) {
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		BigInteger zero = BigInteger.ZERO, one = BigInteger.ONE;
		BigInteger m = zero;
		int []d = new int[1002];
		BigInteger []fac = new BigInteger[1002];
		fac[0] = one;
		
		for(int i = 1; i < 1002; i++) {
			fac[i] = fac[i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(i));
		}
		
		int n = cin.nextInt(), tot = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			d[i] = cin.nextInt();
			if(d[i] == -1) {
				m = m.add(one);
			}  else {
				tot = tot + d[i] - 1;
			}
		}
		
		BigInteger fz = fac[n - 2].multiply(m.pow(n - 2 - tot)), fm = fac[n - 2 - tot];
		
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			if(d[i] == -1) continue;
			fm = fm.multiply(fac[d[i] - 1]);
		}
		
		System.out.println(fz.divide(fm));
		
		cin.close();
		
	}
}