最大连续子序列和问题如下：
下面介绍动态规划的做法，复杂度为 O(n)。
步骤 1：令状态 dp[i] 表示以 A[i] 作为末尾的连续序列的最大和（这里是说 A[i] 必须作为连续序列的末尾）。
步骤 2：做如下考虑：因为 dp[i] 要求是必须以 A[i] 结尾的连续序列，那么只有两种情况：
-
- 这个最大和的连续序列只有一个元素，即以 A[i] 开始，以 A[i] 结尾。
- 这个最大和的连续序列有多个元素，即从前面某处 A[p] 开始 (p<i)，一直到 A[i] 结尾。
对第一种情况，最大和就是 A[i] 本身。
对第二种情况，最大和是 dp[i-1]+A[i]。
于是得到状态转移方程：
dp[i] = max{A[i], dp[i-1]+A[i]}
这个式子只和 i 与 i 之前的元素有关，且边界为 dp[0] = A[0]，由此从小到大枚举 i，即可得到整个 dp 数组。接着输出 dp[0]，dp[1]，...，dp[n-1] 中的最大子即为最大连续子序列的和。
代码如下：
1 /*
2 最大连续子序列和
3 */
4
5 #include <stdio.h>
6 #include <string.h>
7 #include <math.h>
8 #include <stdlib.h>
9 #include <time.h>
10 #include <stdbool.h>
11
12 #define maxn 10010
13 int A[maxn], dp[maxn]; // A[i] 存放序列，dp[i] 存放以 A[i] 为结尾的连续序列的最大和
14
15 // 求较大值
16 int max(int a, int b) {
17 return a>b ? a : b;
18 }
19
20 int main() {
21 int n, i, k;
22 scanf("%d", &n);
23 for(i=0; i<n; ++i) { // 输入序列
24 scanf("%d", &A[i]);
25 }
26 dp[0] = A[0]; // 边界
27 for(i=1; i<n; ++i) {
28 // 状态转移方程
29 dp[i] = max(A[i], dp[i-1] + A[i]);
30 }
31 // 求最大连续子序列和
32 k = dp[0];
33 for(i=1; i<n; ++i) {
34 if(dp[i] > k) {
35 k = dp[i];
36 }
37 }
38 printf("%d\n", k); // 输出
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40 return 0;
41 }
此处顺便介绍无后效性的概念。状态的无后效性是指：当前状态记录了历史信息，一旦当前状态确定，就不会再改变，且未来的决策只能在已有的一个或若干个状态的基础上进行，历史信息只能通过已有的状态去影响未来的决策。针对本节问题来说，每次计算状态 dp[i]，都只会涉及 dp[i-1]，而不直接用到 dp[i-1] 蕴含的历史消息。