[容斥 组合数学] 求序列不相邻恰好k种颜色着色 Gym - 100548F

 逆元 适用 mod 为素数
 C(n, m) 函数适用 n, m 在 1kw 以下时
 n 过大时可暴力 均过大用 lucas定理

 小于等于 k 种颜色 k * (k - 1) ^ (n - 1)
 减去 (k - 1) * (k - 2) ^ (n - 1)    * (不选的 k 种可能颜色)
 有重复减去的部分
 选 i 种颜色的情况数为 C(k, i)

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
const long long mod = 1e9 + 7;
using namespace std;

ll Pow(ll a, ll b)	// 快速幂
{
	ll ans = 1;
	ll t = a;
	while (b != 0)
	{
		if (b & 1)
			ans = (ans * t) % mod;
		t = (t * t) % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

/// C(n, m) 组合数函数 
ll fac[1000005], inv[1000005], num[1000005];
void init(int p)
{
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= p; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    inv[p] = Pow(fac[p], mod-2);
    for (int i = p - 1; i >= 0; i--)
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
ll C(ll n, ll m)
{
    return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}

int main()
{
	init(1000004);		/// 
	
	int T;
	scanf("%d", &T);
	for (int cas = 1; cas <= T; cas++)
	{
		ll n, m, k;
		scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &k);
		
		ll ans = 0;
		ll t = 1;
		for (int i = k; i > 0; i--, t = (-1) * t)		/// 容斥
		ans = (ans + t * C(k, i) % mod * i % mod * Pow(i - 1, n - 1) % mod + mod) % mod;
		
		// ans *= C(m , k) m太大, 暴力加逆元
		for (int i = m; i >= m - k + 1; i--)
			ans = ans * i % mod;
		ans = ans * inv[k] % mod;
		
		printf("Case #%d: %lld\n", cas, ans);
	}
	return 0;
}