【计导非课系列】 第五节 二进制 进制计算 编码

【计导非课系列】 第五节 二进制 进制计算 编码

对于计算机来说，数字只有两个——0和1。

数据对于计算机来说是相当重要的，而电路的通断两种状态决定了计算机只能通过1和0来进行一切事情的处理。所以，我们见到的计算机的一切都是通过二进制才能呈现出来的。这次就会着重介绍一下进制的计算和编码。

博文目录

• 什么是数据
• 数的进制
• 二进制
• 进制的转换
• 逻辑运算
• 计算机对数据的处理
• 常用编码
• 数的表示
• 符号数的机器码表示

before we start…

计算机为什么采用二进制？

计算机中，数是用物理器件的状态表示的，二进制只有两种状态，0和1，容易用电路表示。
二进制规则简单，容易用数字逻辑电路实现。
二进制还可以表示逻辑值，进行逻辑计算。
To say it simply, 这本来就是电路决定的。而这样一决定之后，正好带来了许多好处：比如0代表假的，没发生过的；比如所有数字只有两种状态，便于管理，写起来程序还方便……总之，二进制就是强！

自动计算要解决的问题

数据的存储、表示、运算，以及自动执行的计算模型

计算机主要技术指标

• 字长：计算机一次存取传递或加工的数据长度。也就是系统是多少位的。
• 主存容量：内存（主存储器）所能存储的二进制容量，主存越大，交换越少，处理速度越快。
• 计算机指令执行速度：（MIPS），每秒钟执行加减法有几百万次，可以通过时钟频率间接估计。
• 时钟周期（频率、主频） CPU主频速度：CPU在单位时间内发出的脉冲数。
• 数据输入/输出最高速率：计算机的数据吞吐量。
  例题：下面的特点分别对应哪些技术指标？
  

数据

什么是数据

数据：反应客观世界事物属性的原始记录。

需要对数据做什么

• 存储数据：数据怎样做才能被记到计算机上？用0和1。
• 组织数据：怎样存储这些0和1对我最有用？数据结构。

存储容量单位换算

在计算机里面，“千”不是所谓的10³，而是2¹⁰！也就是1024。
存储容量指的是存储器有多少个存储单元。最基本的存储单元是位，bit，可以存放1个0或者1。
关系如下：
1B=1字节=8位
1KB=1024B=2¹⁰B
1MB=1024KB=2²⁰B
1GB=1024MB=2³⁰B
1TB=1024GB=2⁴⁰B
1PB=1024TB=2⁵⁰B
1EB=1024PB=2⁶⁰B
硬件厂商和软件大小的“矛盾”
硬件厂商认为，Kilo当作1000……
软件认为，Kilo当作1024……

数的进制

什么是进制？

就是，逢几进一！

所有进制都是这样规定的：

基数+位权
基数：几进制基数就是几。二进制就是2，十进制就是10！
而且，几进制代表能出现的数字，就在0到这个数减一。
位权：数制中某一位上1所代表的多大。所处位置的“价值”。
啥意思？就是说这一位有多大。比如，百位，位权就是100呗~
对于十进制243，2位权100，4位权10，3位权1。

所有进制都是这样计算的：

进制的作用

规定了一个数位上最多有多少种状态。

二进制数

符号0是0，符号1是1，这就是二进制

二进制的存储问题 位 位模式

信息表示的最小单位：位 bit

有两种状态的物质就构成一个位，用开关、磁极、电容器、触发器就可以物质实现。

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位模式——是一个集合：8个位构成一个字节

8个位构成一个字节，这就是一种位模式。
存储单元=字节

进制的转换

二进制数转换为十进制数

直接用位权乘以数字相加，第一位是0次幂，小数点往左幂次递增，往右幂次递减。
求(1001.101)(2)的十进制数值。
=12⁰+12³+12^-1+12^-3
=8+1+0.5+0.125=9.625

十进制数转换为二进制数：除二取余法

来一道题：

也可以记住一些常用的十进制和二进制整数转换表

十进制小数转化为二进制小数？乘二取余法

首先不断地对前次得到的积的小数部分乘2，并列出该次得到的整数数值，然后按从前向后的次序排列。该方法简称乘2取整法。

可能会一直很多步，出不来结果，甚至循环！
此时要由转换精度决定。

数字游戏——二八十六之间的转换

二进制是最基本的，八进制是三位二进制，十六进制是四位二进制

直接上例题，一看就会！



加法减法乘法除法列竖式和十进制完全一样

逻辑运算

非、与、或、异或

异或XOR：就是不一样的时候，结果才是真。
或非NOR：一样的时候，结果才是真。

计算机对数据的处理

典例：AD转换 Analog/Digital

Sampling采样 Quantization数字化 Coding编码
对图像信号，可以使用矩阵，1黑0白；也可以使用RGB。
对视频信号，使用帧frame。

最终，都是要回归到位模式存储的。

常用编码

BCD码 Binary-Coded Decimal 二-十进制编码

使用4位表示一个十进制数
8421BCD编码 就是位权分别为8、4、2、1
表示0~9绰绰有余了。

压缩BCD码：一个字节分成两半，每半表示一个十进制数

非压缩BCD码：不拆开，一个字节表示一个十进制数

比如，89表示为： (00001000 00001001)BCD

ASCII码 美国信息交换标准代码

The American Standard Code for Information Interchange

使用7位或8位表示特定的128或256种字符

编码方案：高三位和低四位

计算机对数字的位模式存储处理：二进制 VS ASCII

前一种：二进制文件
后一种：ASCII码文件或文本文件

辨析：文本文件指的是？ASCII码文件！
ASCII码文件占用空间更大

十六进制表示？只不过是把二进制多转换了一下。

汉字常见编码体系

汉字输入码 （外码）： 输入设备产生的，你怎么把这个汉字输进去

比如，区位码，国标码、拼音码、新全拼、新双拼、五笔字型码、简码、表形码、自然码、智能ABC汉字输入码。

汉字机内码：用于计算机内部存储和处理的汉字编码

用于计算机内部 存储和处理的汉字编码，通常由国标码的两个字节（最高位置“1”形成）
下面是我的一点理解
要点：什么叫汉字机内码？就是机器内部用的编码！不管你从鼠标或者别的什么用的什么方法输入的这些汉字，在我计算机里面，我就用这样的编码来记下来你到底输入的是什么玩意，在需要处理的时候，我也用我的这个编码来管理。
机内，计算机内部。干什么用？第一，从外部读入之后存下来：存储。第二，需要使用这些汉字，处理。
最关键的就是，计算机内部，存储，处理。
外码和内码关联：外码多种多样，内码往往统一。
汉字机内码每个字节第一位都是1：为了与ASCII码区别开来。所以，汉字机内码会是这个样子：
1。。。。。。。1。。。。。。。
通过这一点，来一个例题：

在内存中，若汉字以GB2312的内码表示，已知存储了6个字节的字符串。其十六进制内容依次为：6AH、B1H、D2H、53H、C8H、B4H，这个字符串中有_______个汉字。

解题思路：汉字和ASCII怎么区分开的？每个字节第一位都是1的才是汉字。所以，这就很简单了。

汉字字形码：用于打印、输出，确定汉字字形点阵

确定一个汉字字形点阵的编码，用于汉字显示和打印输出。
保留在存储介质中的全部汉字字形码称为字库。

用16×16点阵存储2个汉字的字形码，需要用多少个字节？

How to? 16×16÷8×2=64

数据校验码

奇偶校验码 1的个数为奇数
海明校验码

数的表示

计算机存储数据分为定点数和浮点数两种方式。

定点数

小数点位置固定不变，计算机设计者在机器的结构中指定一个不变的位置。
常用的定点数：定点整数、定点小数

定点整数

小数点固定在最低数值位之后，有一个符号位。
如果参加运算的是小数，需要乘以一个比例因子放大为整数，然后送入计算机。

定点小数

表示的都是小数，小数点在最左边符号位和数值位之间，只能保存不到1的数。
如果参加运算的数是大于等于1的数，在送入计算机以前，除以一个比例因子，将其缩小为小于1的数。

优点：计算简单方便；缺点：但需要对参加运算的数进行比例因子的计算，增加了额外的计算量。

浮点数

浮点数的统一格式

我的理解：
可以看出，分为4部分。
一是符号，整数还是负数。
二是有效数字，也叫尾数，也就是一长串小数。
三是基数，也就是用的几进制。
四是阶码，也就是小数点偏离了几位，才让有效数字变得很中规中矩。

规格化浮点数

二进制，
M是纯小数，且小数点后面是1。
阶码E是正或负整数
举例：

这两个都是规格化浮点数。前面是定点数。

浮点机器数

计算机中数的表示

二进制的四则运算，乘法和除法可以通过加减法实现，因此可以没有乘除法装置。

符号数的机器码表示

机器数：一个有符号的数在机器中的二进制表示形式。最高位是符号数，1代表负数，0代表正数。
真值：将带符号位的机器数转化为真正数值的形式，就是机器数的真值。
比如：机器数：10000011
真值：-0000011
无符号数：整个机器字长全部二进制位均表示数值位，相当于数的绝对值。
符号位只是第一位，其余位都是数值位。

三种表示法

• 原码表示法
• 反码表示法
• 补码表示法

前提：正数原码、反码、补码都是一样的

原码表示法：符号+真值的绝对值

如，5这个数：
+5：0 0000101
-5： 1 0000101

反码表示法：负数符号位不动，其余按位取反

如：5这个数
反码
+5：0 0000101
-5：1 1111010

补码表示法：负数补码加一

如：5这个数：
补码
+5：0 0000101
-5： 1 1111011

不得不说的0

负0的反码全部是1，补码全部是0。

举例理解

求-1011的补码，并放入8位的存储单元中。
存储单元：字节
原码 1000 1011
反码 1111 0100
补码 1111 0101

划重点：补码计算原数——补码当原码，再次求补码

已知1111 0101是一个补码，它是负数，反码就是1111 0100，原码就是1000 1011。
或者对1111 0101再求补码：
原码 1111 0101
反码 1000 1010
补码 1000 1011
两种方法都可以求出来。


丢弃最高位，保留符号位，这里涉及到了溢出的问题。
机器负数计算方法：补码连同符号位一起取反，末尾加一。
比如：
0000 1011的相反数：1000 1011
它的补码：1111 0101
全部取反：0000 1010
末尾加一：0000 1011
这样得到了正数。
原理：先求原码，也就是求补码，包括除了符号位以外其他位置按位取反，和末尾加一。第二步是符号位取反，两步合起来就是这样了。
我觉得不用去记，知道原理就可以游刃有余。

补码特点

• 0的机器码表示唯一
• 二进制加减法都变成了补码加法
• 符号位直接参加运算
  这样，减法器也可以不要了。
  

怎样实现的只有一个加法器，实现所有功能？

加减法通过直接补码加法，乘除法需要进行移位，移位器实现乘除法。逻辑运算需要逻辑运算器。

表示范围

假设有n位。

原码：n-1位，每一位都可以表示2^n-1个数字，再加上+0和-0，所以一共有-(2^n-1-1)~+(2^n-1-1)
反码也是这么多位，因为原码反码互相转换很方便。
补码不太一样，没有+0和-0的区别，显然多了一个。10000000，就是它，-128。既当成符号位又当成数值位。

总结

二进制是计算机采用的基本方式，在0和1构成8字节位模式中实现所有计算机要做的事情。所有！而原码反码补码等二进制的实现形式，汉字机内码BCD码等码制，这是计算机能够实现如此复杂功能的一个重要方面。了解二进制，才能真正接近计算机。