1 认识向量机
支持向量机是处理数据分类问题，目的是学会一个二分类的函数模型，属于监督式学习的方法，被广泛应用于统计分类和回归分析。通过建立一个超平面对样本数据进行分类，超平面涉及到凸优化及核函数的应用。
2 线性分类
假设数据样本集是线性可分，即存在一个超平面将其分成两类。以下推导的过程都是基于线性可分，非线性分类是在线性分类加上一个松弛因子，下面开始线性分类的推导。
2.1 线性分类的标号
为了方便公式推导将样本集分为2类，+1和-1。分类函数为
其中w=(w1,w2,w3,…wn)，x=(x1,x2,x3,…xn)。通俗的讲支持向量机解决的问题是找到最好的分类超平面。在二维平面中就是一根直线，在三维空间里就是一个分类面。在能分类的情况下，样本点到分类线和分类面的距离越远，说明分类越佳。SVM扮演的是最大间隔分类器的角色。
2.2 函数间隔和几何间隔
一般而言，一个点距离超平面的远近可以表示为分类预测的确信或准确程度。在超平面 wTx+b=0确定的情况下，|wTx+b| 能够相对的表示点x到距离超平面的远近，而 wTx+b 的符号与类标记 y 的符号是否一致表示分类是否正确，所以，可以用量 y(wTx+b) 的正负性来判定或表示分类的正确性和确信度。即，y(wTx+b) > 0 时分类正确；y(wTx+b) < 0 时分类错误。
2.2.1函数间隔
函数间隔定义为：
可以看到，函数间隔其实就是类别标签乘上了f(x)的值，可以看到，该值永远是大于等于0的，正好符合了距离的概念，距离总不能是负的吧。那么为什么该值可以表示数据点到超平面的距离呢？我们不妨这样想，假设y=1,f(x)=1,其实就是将原来的分类超平面f(x) 向右平移了1个单位，而y=1,f(x)=2是将原来的分类超平面f(x) 向右平移了2个单位，所以f(x)值越大的点到分类超平面的距离当然越远，这就解释了我们之前提出的问题。
但是函数间隔存在一定的问题，上述定义的函数间隔虽然可以表示分类预测的正确性和确信度，但在选择分类 超平面时，只有函数间隔还远远不够，因为如果成比例的改变 w 和 b，如将他们改变为 2w 和 2b，虽然此时超平面没有改变，但函数间隔的值 yf (x) 却变成了原来的 4 倍。
所以在实际中，我们定义点到超平面的距离时，采用的是几何间隔。
2.2.2 几何间隔
如图所示，样本点A的坐标为 x (i) ，A 到超平面的垂直距离为 γ(i) ，超平面的单位法向量是 ω / || ω || ，B点是超平面上一点且是A点的投影，则 B 点的坐标 x(i) - γ(i) ω / || ω || 。推导过程如下图。
将B点坐标代入超平面方程，得几何间隔为：
如上所述，函数间隔与几何间隔的关系有
几何间隔的计算就相当于点到平面的距离公式。
2.3 支持向量
支持向量即满足最大间隔的样本点。
两条虚线上的样本点即为支持向量点。
要想间隔最大化，即max
对于所有数据点必然满足下面条件
其中
根据我们刚才的讨论，即使在超平面固定的情况下，γˆ 的值也可以随着 ∥w∥ 的变化而变化。由于我们的目标就是要确定超平面，因此可以把这个无关的变量固定下来，固定的方式有两种：一是固定 ∥w∥ ，当我们找到最优的 γ时 γˆ 也就可以随之而固定；二是反过来固定 γˆ ，此时 ∥w∥ 也可以根据最优的 γ得到。处于方便推导和优化的目的，我们选择第二种，令 γˆ=1 ，则我们的目标函数化为：
这里为什么可以把γˆ固定为1呢？很多教材上没有解释而是一笔带过，在july大神的博客下面的回复中看到了一个比较好的回复，截图如下：
个人理解：函数间隔可以根据w和b的值的伸缩随意变动，但是二者的伸缩不会带来超平面的变化。通过将w和b缩小为原来的1/γˆ倍，从而将γˆ缩小为原来的1/γˆ倍，变为1。方便了后面的计算，同时还没有改变超平面。
2.4 向对偶问题转化
由上面的式子经过变化，得到凸优化问题，即将max 1/|| ω ||转化成求 min 1/2 || ω || ^2 ，两者是等价的。
转化到这个形式后，我们的问题成为了一个凸优化问题，或者更具体的说，因为现在的目标函数是二次的，约束条件是线性的，所以它是一个凸二次规划问题。这个问题可以用任何现成的QP的优化包进行求解，归结为一句话即是：在一定的约束条件下，目标最优，损失最小。
除了用解决QP问题的常规方法之外，还可以通过求解对偶问题得到最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。
现在要对凸优化进行求解，现在给出的经验求解方法是，通过求解对偶问题得到最优解。对偶问题是什么?这就要引出拉格朗日函数，将约束条件融合到目标函数中，通过给每个约束条件加上一个拉格朗日乘子α 。
然后令：
现在目标函数变成了：
对这个公式的理解：在满足约束条件（即样本点为支持向量）下，最大的几何间隔中取最小的值。max L(w,b,a) 是得到支持向量的样本点，然后再这些样本点中找到min 1/2 || w ||2 的最小值（最大间隔）。
注意了，对偶问题出来了（p* 是原来的问题，d* 是对偶问题），将最小最大的位置交换，得到下面的式子：
交换之后的问题就不等价了，有以下关系：d* <= p* 。但在满足某些条件下（KKT条件），两者是相等的。现在我们把对偶问题得出了，接下来对偶问题进行求解。
2.5 求解对偶问题
上述可知，原来问题与对偶问题的等价条件是满足某些条件，条件就是KKT 。（上面这一部分公式推导涉及到KKT条件和不等式约束条件下的优化问题，下一节介绍）而求解这个对偶学习问题，分为3个步骤：1、让L（ω, b, α）关于 ω 和 b 的最小化；2、求 α 的极大；3、利用SMO算法求解对偶因子（α）。这里主要讲1 和 2 ，步骤 3 在第三节讲。
如果我们把对偶因子a求出，那么我们就可以得到最佳的超平面 f (x) = ωT x + b ;
b 根据KKT条件 ，αi [ y(i)(ωTx(i) + b ) -1] =0, i =1, 2 ,…, m ，其中必然存在一个αj 不等于0 ，y(j)(ωTx(j) + b )=1 ,两边同乘以 y(j) 可得：
也可以对所有满足条件的b加权平均。
到这里我们把目标函数 f(x) 的求解转化成对对偶因子的求解，正如 July 大神总结的一样。
