【洛谷】T46495 子异和 -拆位找规律&线段树

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题解

这题的性质和维护都很妙啊。

一个数集的子异和为其所有非空子集的集合异或和之和。

考虑如何 $O(n)$ 回答单次询问：
拆位后用桶 $t[i][x]$ 表示第 $x$ 位在前 $i$ 个数组成的所有非空子集中出现的总次数。

可以把前 $i$ 个数组成的所有非空子集分成含有 $a_i$ 和不含有 $a_i$ 两部分，分别处理后加起来：

若当前数 $a_i$ 二进制第 $x$ 位为 $1$ : $t[i][x]=t[i-1][x]+(2^{i-1}-1-t[i-1][x])+1=2^{i-1}$
若当前数 $a_i$ 二进制第 $x$ 位为 $0$ : $t[i][x]=t[i-1][x]\times 2$

显然能够得到结论：集合 $S={a_1,a_2,..,a_{|S|}}$ 的子异和 $=(a_1|a_2|...|a_{|S|})\times 2^{|S|-1}$

对于询问， $dfs$ 序+线段树维护区间异或和即可。

为了维护每次修改后的异或和，还需要维护区间与，再深入发掘一下性质：

对于一个区间的数异或上一个 $c$ 时，观察到：

从 $0$ 变成 $1$ 的位必然满足 $c$ 的二进制对应位为 $1$ ，且区间或值对应位为 $0$ 。
从 $1$ 变成 $0$ 的位必然满足 $c$ 的二进制对应位为 $1$ ，且区间与值对应位为 $1$ 。

这样维护就好了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define mid ((l+r)>>1)
#define lc k<<1
#define rc k<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+100,mod=1e9+7;
const int maxn=(1LL<<31)-1;

int n,m,val[N],bin[N];
int head[N],to[N<<1],nxt[N<<1],tot;
int df[N],top[N],sz[N],son[N],f[N],dep[N],dfn;
int qx[N<<2],qy[N<<2],lzy[N<<2];

inline void lk(int u,int v)
{to[++tot]=v;nxt[tot]=head[u];head[u]=tot;}

inline int ad(int x,int y){x+=y;return x>=mod?x-mod:x;}

char cp,SS[100];
template<class yyy>
inline void rd(yyy &x)
{
    cp=getchar();x=0;
    for(;!isdigit(cp);cp=getchar());
    for(;isdigit(cp);cp=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(cp^48);
}

inline void ot(int x)
{
    int re=0;
    for(;(!re)||(x);x/=10) SS[++re]='0'+x%10;
    for(;re;--re) putchar(SS[re]);
    putchar('\n');
}

void dfs(int x)
{
    sz[x]=1;
    for(int j,i=head[x];i;i=nxt[i]){
        j=to[i];if(j==f[x]) continue;
        f[j]=x;dep[j]=dep[x]+1;dfs(j);
        sz[x]+=sz[j];if(sz[son[x]]<sz[j]) son[x]=j;
    }
}

void dfss(int x,int tpo)
{
    top[x]=tpo;df[x]=++dfn;
    if(!son[x]) return;
    dfss(son[x],tpo);
    for(int j,i=head[x];i;i=nxt[i]){
        j=to[i];if(j==f[x] || j==son[x]) continue;
        dfss(j,j);
    }
}

void build(int k,int l,int r)
{
    if(l==r) {qx[k]=qy[k]=val[l];return;}
    build(lc,l,mid);build(rc,mid+1,r);
    qx[k]=qx[lc]|qx[rc];
    qy[k]=qy[lc]&qy[rc];
}

inline void trs(int k,int v)
{
    lzy[k]^=v;int x=qx[k],y=qy[k];
    x^=(qy[k]&v);x|=((maxn^qy[k])&v);
    y^=(qy[k]&v);y|=((maxn^qx[k])&v);
    qx[k]=x;qy[k]=y;
}

inline void pushdown(int k)
{
    if(!lzy[k]) return;
    trs(lc,lzy[k]);trs(rc,lzy[k]);
    lzy[k]=0;
}

int gt(int k,int l,int r,int L,int R)
{
    if(L<=l && r<=R) return qx[k];
    pushdown(k);
    if(R<=mid) return gt(lc,l,mid,L,R);
    if(L>mid) return gt(rc,mid+1,r,L,R);
    qx[k]=qx[lc]|qx[rc];
    qy[k]=qy[lc]&qy[rc];
    return (gt(lc,l,mid,L,R)|gt(rc,mid+1,r,L,R));
}

void modify(int k,int l,int r,int L,int R,int v)
{
    if(L<=l && r<=R){trs(k,v);return;}
    pushdown(k);
    if(L<=mid) modify(lc,l,mid,L,R,v);
    if(R>mid) modify(rc,mid+1,r,L,R,v);
    qx[k]=qx[lc]|qx[rc];
    qy[k]=qy[lc]&qy[rc];
}

inline int ask(int x,int y)
{
    int re=0,cot=-1;
    for(;top[x]!=top[y];x=f[top[x]]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        cot+=(dep[x]-dep[top[x]]+1);
        re|=gt(1,1,n,df[top[x]],df[x]);
    }
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    cot+=(dep[x]-dep[y]+1);
    re|=gt(1,1,n,df[y],df[x]);
    return (ll)re*bin[cot]%mod;
}

inline void cg(int x,int y,int z)
{
    for(;top[x]!=top[y];x=f[top[x]]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        modify(1,1,n,df[top[x]],df[x],z);
    }
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    modify(1,1,n,df[y],df[x],z);
}

int main(){
    int i,j,op,x,y,z;
    rd(n);rd(m);
    for(i=1;i<n;++i){
    	rd(x);rd(y);lk(x,y);lk(y,x);
    }
    bin[0]=1;for(i=1;i<=n;++i) bin[i]=ad(bin[i-1],bin[i-1]);
    dep[1]=1;dfs(1);dfss(1,1);
    for(i=1;i<=n;++i) rd(val[df[i]]);
    build(1,1,n);
    for(;m;--m){
    	rd(op);rd(x);rd(y);
    	if(op==1) ot(ask(x,y));
    	else{rd(z);cg(x,y,z);}
    }
    return 0;
}

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