复变函数的积分

一、复变函数积分的概念

学习目标

• 会用参数法计算复积分
• 记住 $\int_cf(z)dz=\int_c(u+iv)(dx+idy)=\int_cudx-vdy+i\int_cvdx+udy$
• 记住 $\oint_{|z-z_0| =r}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}}=\begin{cases} 2\pi i &n=0 \\ 0 & n\neq 0\end{cases}$
  

1、参数法计算复积分

    例题1：计算 $\int_czdz$ ,其中 $C$ 为从原点到点 $3+4i$ 的直线段.
$解$：
    直线的方程可写作 $x=3t，y=4t，0\leq t\leq 1$或 $z=3t+i4t，0\leq t\leq 1$在 $C$ 上， $z=(3+4i)t，dz=(3+4i)dt$. 于是 $\int_czdz=\int^{1}_{0}(3+4i)^2tdt=(3+4i)^2\int^{1}_{0}tdt=\frac{1}{2}(3+4i)^2.$
    例题2：计算积分 $\oint_c\frac{\overline{z}}{|z|}dz$ 的值，其中 $C$ 为 $|z|$ 的正向圆周
$解$：
     $z=re^{i\theta}$ ，则 $\overline{z}=re^{-i\theta}$ ， $dz=ire^{i\theta}d\theta$
所以 $\oint_c\frac{\overline{z}}{|z|}dz=\int^{2\pi}_{0}\frac{re^{-i\theta}}{r}·ire^{i\theta}d\theta=ir\int^{2\pi}_{0}d\theta=4\pi i$

二、柯西-古萨(C-G)基本定理

学习目标

• 记住柯西-古萨基本定理的内容，并会灵活运用
  
      柯西-古萨基本定理：如果函数 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么函数 $f(z)$ 沿 $B$ 内的任何一条封闭曲线 $C$ 的积分为零： $\oint_cf(z)dz=0$

三、复数闭路定理

学习目标

• 记住复合闭路定理的内容(两种形式)，并会灵活运用(结合其他公式)
  
      定理：设 $C$ 为多个连通域 $D$ 内的一条简单闭曲线， $C_1,C_2,···，C_n$ 是在 $C$ 内部的简单闭曲线，它们互不包含也不互相交，并且以 $C_1,C_2,···，C_n$ 为边界的区域全含于 $D$. 如果 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，那么 $\oint_cf(z)dz=\sum \limits_{k=1}^n{\oint_{c_k}f(z)dz}$其中 $C$ 即 $C_k$ 均取正方向;并且满足 $\oint_\Gamma f(z)dz=0$这里的 $\Gamma$ 为由 $C$ 即 $C_k (k=1,2,···,n)$ 所组成的复合闭路(其方向是: $C$按逆时针进行， $C^{n}_{k}$ 按顺时针进行)

四、原函数与不定积分

学习目标

• 知道什么条件下，积分值与起点和终点有关，与路径无关
• 会用复 $N-L$ 公式计算福鼎积分
  
      定理一:如果函数 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么积分 $\int_cf(z)dz$ 与连接起点和终点的路线 $C$ 无关.
  
  $PS$：单连通域是指：设 $D$ 是一区域，若属于 $D$ 内任一简单闭曲线的内部都属于 $D$，则称 $D$ 为单连通区域.
  
      定理二：如果 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么函数 $F(z)$ 必为 $B$ 内的一个解析函数，并且 $F^{'}(z)=f(z)$.
  
      定理三：如果 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析， $G(z)$ 为 $f(z)$ 的一个原函数，那么 $\int_{z_0}^{z_1}f(z)dz=G(z_1)-G(z_0)$这里 $z_0，z_1$为域 $B$ 内的两点.

五、柯西积分公式

学习目标

• 记住柯西积分公式的内容，并会灵活运用
  
      定理：如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析， $C$ 为 $D$ 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 $D$ ， $z_0$ 为 $C$ 内的任一点，那么 $\oint_c\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi if(z_0)$

六、解析函数的高阶导数

学习目标

• 记住高阶导数公式的内容，并会灵活运用
  
      定理：解析函数 $f(z)$ 的导数仍为解析函数，它的 $n$ 阶导数为： $f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^{(n+1)}}dz\ \ \ \ \ (n=1,2,···）$其中 $C$ 为在函数 $f(z)$ 的解析区域 $D$ 内围绕 $z_0$ 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于 $D$.
  也可以写成 $\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^{(n+1)}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)\ \ \ \ \ (n=1,2,···)$

七、解析函数与调和函数的关系

学习目标

• 会判别一个函数是否为调和函数
• 知道共轭调和函数的定义
• 知道解析函数于调和函数的关系
• 给一个函数 $u(x,y)$ 或 $v(x,y)$, 求另一个函数 $v(x,y)$ 或 $u(x,y)$ 组成一个解析函数
  

1、解析函数与调和函数的关系

    如果二元实变函数 $\phi(x,y)$ 在区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯 $(Laplace)$方程 $\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}=0$那么称 $\phi(x,y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数.
    定理：任何在区域 $D$ 内解析的函数，它的实部和虚部都是 $D$ 内的调和函数. 即： $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$ $\frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0$
    在 $D$ 内满足柯西-黎曼方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}，\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$的两个调和函数， $v$ 称为 $u$ 的共轭调和函数. 因此，上面的定理说明：区域 $D$ 内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.

2、偏积分法求共轭调和函数

     $Test1$：证明 $u(x,y)=y^3-3x^2y$ 为调和函数，并求其共轭调和函数 $v(x,y)$ 和由它们构成的解析函数.
$解$：
     $1）$因为 $\frac{\partial u}{\partial x}=-6xy，\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=-6y$ $\frac{\partial u}{\partial y}=3y^2-3x^2，\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=6y$所以 $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$这就证明了 $u(x,y)$ 为调和函数.
     $2）$由 $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=-6xy$得 $v=\int-6xydy=-3xy^2+g(x)，$ $\frac{\partial v}{\partial x}=-3y^2+g^{'}(x)$由 $\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$，得 $-3y^2+g^{'}(x)=-3y^2+3x^2$故 $g(x)=\int3x^2dx=x^3+C$因此 $v(x,y)=x^3-3xy^2+C$从而得到一个解析函数 $w=y^3-3x^2y+i(x^3-3xy^2+C)$