缺失数据的Bootstrap与Jackknife方法：《Statistical Analysis with Missing Data》习题5.1 & 5.2

一、题目

5.1

本题基于之前习题1.6产生关于 $(Y_1, Y_2, U)$的模拟数据：
$y_{i1}=1+z_{i1}$
$y_{i2}=5+2*z_{i1}+z_{i2}$
分别利用Bootstrap，Jackknife以及解析式三种方式来估计 $Y_2$均值与变异系数的标准差。

5.2

下面再加入缺失的情况来继续深入探讨，同样还是如习题1.6的构造方式来加入缺失值，其中 $a=2$， $b=0$。

$u_i=a*(y_{i1}-1)+b*(y_{i2}-5)+z_{i3}$
其中 $\{(z_{i1}, z_{i2}, z_{i3}),i=1,...,100\}$服从相互独立的标准正态分布。这里构造缺失的方式主要是通过 $u_i$来进行构造：对某一个样本而言，若 $u_i<0$，则 $y_{i2}$缺失。

我们将进行如下几种操作：
a）利用缺失插补后的Bootstrap与Jackknife，进行 $Y_2$均值与变异系数的标准差的估计。（插补方式为线性回归插补）
b）利用缺失插补前的Bootstrap与Jackknife，进行 $Y_2$均值与变异系数的标准差的估计。（插补方式为线性回归插补）
c）比较各种方式的90%置信区间实际覆盖真实值的情况，哪种方式表现最好，哪种方式是理论可行的，在大样本情况下。（这里对四种方法重复100次实验，看覆盖次数多少，越多表示效果越好）

二、解答

5.1

a）Bootstrap与Jackknife进行估计

首先构建生成数据函数。

# 生成数据
# 生成数据
GenerateData <- function(a = 0, b = 0) {
  y <- matrix(nrow = 3, ncol = 100)
  z <- matrix(rnorm(300), nrow = 3)
  
  y[1, ] <- 1 + z[1, ]
  y[2, ] <- 5 + 2 * z[1, ] + z[2, ]
  
  u <- a * (y[1, ] - 1) + b * (y[2, ] - 5) + z[3, ]
  # m2 <- 1 * (u < 0)
  
  y[3, ] <- y[2, ]
  y[3, u < 0] <- NA
  
  dat_comp <- data.frame(y1 = y[1, ], y2 = y[2, ])
  dat_incomp <- data.frame(y1 = y[1, ], y2 = y[3, ])
  # dat_incomp <- na.omit(dat_incomp)
  
  return(list(dat_comp = dat_comp, dat_incomp = dat_incomp))
}

Bootstrap与Jackknife的函数：

Bootstrap1 <- function(Y, B = 200, fun) {
  Y_len <- length(Y)
  mat_boots <- matrix(sample(Y, Y_len * B, replace = T), nrow = B, ncol = Y_len)
  statis_boots <- apply(mat_boots, 1, fun)
  boots_mean <- mean(statis_boots)
  boots_sd <- sd(statis_boots)
  return(list(mean = boots_mean, sd = boots_sd))
}

Jackknife1 <- function(Y, fun) {
  Y_len <- length(Y)
  mat_jack <- sapply(1:Y_len, function(i) Y[-i])
  redu_samp <- apply(mat_jack, 2, fun)
  jack_mean <- mean(redu_samp)
  jack_sd <- sqrt(((Y_len - 1) ^ 2 / Y_len) * var(redu_samp))
  return(list(mean = jack_mean, sd = jack_sd))
}

进行重复试验所需的函数：

RepSimulation <- function(seed = 2018, fun) {
  set.seed(seed)
  dat <- GenerateData()
  dat_comp_y2 <- dat$dat_comp$y2
  boots_sd <- Bootstrap1(dat_comp_y2, B = 200, fun)$sd
  jack_sd <- Jackknife1(dat_comp_y2, fun)$sd
  return(c(boots_sd = boots_sd, jack_sd = jack_sd))
}

下面重复100次实验进行 $Y_2$的均值与变异系数标准差的估计：

nrep <- 100
## 均值
fun = mean
mat_boots_jack <- sapply(1:nrep, RepSimulation, fun)
apply(mat_boots_jack, 1, function(x) paste(round(mean(x), 3), '±', round(sd(x), 3)))

## 变异系数
fun = function(x) sd(x) / mean(x)
mat_boots_jack <- sapply(1:nrep, RepSimulation, fun)
apply(mat_boots_jack, 1, function(x) paste(round(mean(x), 3), '±', round(sd(x), 3)))

从上面可以发现，Bootstrap与Jackknife两者估计结果较为相近，其中对均值标准差的估计，Jackknife的方差更小。这其实较为符合常识：Jackknife估计每次只取出一个样本，用剩下的样本来作为样本整体；而Bootstrap每次都会比较随机地重抽样，随机性相对较高，所以重复100次模拟实验，导致其方差相对较大。

下面我们用计算公式来进行推导。

b）均值与变异系数（大样本）的标准差解析式推导与计算

均值

$\bar{Y_2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{2i}$
其中 $Y_{2i}～N(5，5)，i=1，2，...，n$。故：
$Var(\bar{Y_2}) = \frac{Var(Y_{2i})}{n}=\frac{5}{n}$
依题意， $n=100$，故 $\bar{Y_2}$的标准差为 $\frac{\sqrt{5}}{10} \approx 0.2236$。所以从上面的估计可以看出，在此例中，Jackknife估计得相对较准。

变异系数（大样本近似）

## 变异系数
sd(sapply(1:10000, function(x) {
  set.seed(x)
  dat <- GenerateData(a = 0, b = 0)
  sd(dat$dat_comp$y2) / mean(dat$dat_comp$y2)
}))

变异系数大样本近似值为：0.03717648，说明前面的Bootstrap与Jackknife两种方法估计的都较为准确。

5.2

a）缺失插补后的Bootstrap与Jackknife

构造线性填补的函数，并进行线性填补。

DatImputation <- function(dat_incomp) {
  dat_imp <- dat_incomp
  lm_model = lm(y2 ~ y1, data = na.omit(dat_incomp))
  
  # 找出y2缺失对应的那部分data
  na_ind = is.na(dat_incomp$y2)
  na_dat = dat_incomp[na_ind, ]
  
  # 将缺失数据进行填补
  dat_imp[na_ind, 'y2'] = predict(lm_model, na_dat)
  return(dat_imp)
}

dat <- GenerateData(a = 2, b = 0)
dat_imp <- DatImputation(dat$dat_incomp)

fun = mean
Bootstrap1(dat_imp$y2, B = 200, fun)$sd

Jackknife1(dat_imp$y2, fun)$sd

fun = function(x) sd(x) / mean(x)
Bootstrap1(dat_imp$y2, B = 200, fun)$sd

Jackknife1(dat_imp$y2, fun)$sd

Bootstrap与Jackknife的填补结果，很大一部分是由于数据的缺失会造成距离真实值较远。但单从两种方法估计出来的值比较接近。

b）缺失插补前的Bootstrap与Jackknife

先构建相关的函数：

Array2meancv <- function(j, myarray) {
  dat_incomp <- as.data.frame(myarray[, j, ])
  names(dat_incomp) <- c('y1', 'y2')
  dat_imp <- DatImputation(dat_incomp)
  y2_mean <- mean(dat_imp$y2)
  y2_cv <- sd(dat_imp$y2) / y2_mean
  return(c(mean = y2_mean, cv = y2_cv))
}

Bootstrap_imp <- function(dat_incomp, B = 200) {
  n <- nrow(dat_incomp)
  array_boots <- array(dim = c(n, B, 2))
  mat_boots_ind <- matrix(sample(1:n, n * B, replace = T), nrow = B, ncol = n)

  array_boots[, , 1] <- sapply(1:B, function(i) dat_incomp$y1[mat_boots_ind[i, ]])
  array_boots[, , 2] <- sapply(1:B, function(i) dat_incomp$y2[mat_boots_ind[i, ]])
  
  mean_cv_imp <- sapply(1:B, Array2meancv, array_boots)
  boots_imp_mean <- apply(mean_cv_imp, 1, mean)
  boots_imp_sd <- apply(mean_cv_imp, 1, sd)
  return(list(mean = boots_imp_mean, sd = boots_imp_sd))
}

Jackknife_imp <- function(dat_incomp) {
  n <- nrow(dat_incomp)
  array_jack <- array(dim = c(n - 1, n, 2))
  
  array_jack[, , 1] <- sapply(1:n, function(i) dat_incomp[-i, 'y1'])
  array_jack[, , 2] <- sapply(1:n, function(i) dat_incomp[-i, 'y2'])
  
  mean_cv_imp <- sapply(1:n, Array2meancv, array_jack)
  jack_imp_mean <- apply(mean_cv_imp, 1, mean)
  jack_imp_sd <- apply(mean_cv_imp, 1, function(x) sqrt(((n - 1) ^ 2 / n) * var(x)))
  return(list(mean = jack_imp_mean, sd = jack_imp_sd))
}

然后看看两种方式估计出来的结果：

Bootstrap_imp(dat$dat_incomp)$sd

Jackknife_imp(dat$dat_incomp)$sd

缺失插补前进行Bootstrap与Jackknife也还是有一定的误差，标准差都相对更大，表示波动会比较大。具体表现情况下面我们多次重复模拟实验，通过90%置信区间来看各个方法的优劣。

c）比较各种方式的90%置信区间情况（重复100次实验）

RepSimulationCI <- function(seed = 2018, stats = 'mean') {
  mean_true <- 5
  cv_true <- sqrt(5) / 5
  
  myjudge <- function(x, value) {
    return(ifelse((x$mean - qnorm(0.95) * x$sd < value) & (x$mean + qnorm(0.95) * x$sd > value), 1, 0))
  }
  
  if(stats == 'mean') {
    fun = mean
    value = mean_true
  } else if(stats == 'cv') {
    fun = function(x) sd(x) / mean(x)
    value = cv_true
  }
  
  set.seed(seed)
  boots_after_ind <- boots_before_ind <- jack_after_ind <- jack_before_ind <- 0
  
  dat <- GenerateData(a = 2, b = 0)
  dat_incomp <- dat$dat_incomp
  
  # after imputation
  dat_imp <- DatImputation(dat_incomp)

  boots_after <- Bootstrap1(dat_imp$y2, B = 200, fun)
  boots_after_ind <- myjudge(boots_after, value)
  jack_after <- Jackknife1(dat_imp$y2, fun)
  jack_after_ind <- myjudge(jack_after, value)
  
  # before imputation
  boots_before <- Bootstrap_imp(dat_incomp)
  jack_before <- Jackknife_imp(dat_incomp)
  
  if(stats == 'mean') {
    
    boots_before$mean <- boots_before$mean[1]
    boots_before$sd <- boots_before$sd[1]
    jack_before$mean <- jack_before$mean[1]
    jack_before$sd <- jack_before$sd[1]
    
  } else if(stats == 'cv') {
    
    boots_before$mean <- boots_before$mean[2]
    boots_before$sd <- boots_before$sd[2]
    jack_before$mean <- jack_before$mean[2]
    jack_before$sd <- jack_before$sd[2]
    
  }
  
  boots_before_ind <- myjudge(boots_before, value)
  jack_before_ind <- myjudge(jack_before, value)
  
  return(c(boots_after = boots_after_ind,
           boots_before = boots_before_ind,
           jack_after = jack_after_ind,
           jack_before = jack_before_ind))
}

重复100次实验，均值情况：

nrep <- 100
result_mean <- apply(sapply(1:nrep, RepSimulationCI, 'mean'), 1, sum)
names(result_mean) <- c('boots_after', 'boots_before', 'jack_after', 'jack_before')
result_mean

变异系数情况：

result_cv <- apply(sapply(1:nrep, RepSimulationCI, 'cv'), 1, sum)
names(result_cv) <- c('boots_after', 'boots_before', 'jack_after', 'jack_before')
result_cv

上面的数字越表示90%置信区间覆盖真实值的个数，数字越大表示覆盖的次数越多，也就说明该方法会相对更好。

填补之前进行Bootstrap或Jackknife

无论是均值还是变异系数，通过模拟实验都能看出，在填补之前进行Bootstrap或Jackknife，其估计均会远优于在填补之后进行Bootstrap或Jackknife。而具体到Bootstrap或Jackknife，这两种方法相差无几。

填补之后进行Bootstrap或Jackknife

在填补之后进行Bootstrap或Jackknife，效果都会很差，其实仔细思考后也能够理解，本身缺失了近一半的数据，然后填补会带来很大的偏差，此时我们再从中抽样，有很大可能抽出来的绝大多数都是原本填补的有很大偏差的样本，这样估计就会更为不准了。

当然，从理论上说，填补之前进行Bootstrap或Jackknife是较为合理的，这样对每个Bootstrap或Jackknife样本，都可以用当前的观测值去填补当前的缺失值，这样每次填补可能花费的时间将对较长，但实际却更有效。