DTFT变换的性质

线性性质

设
$x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})\quad y[n]\xrightarrow{DTFT}Y(e^{jw})$
则
$\begin{aligned}ax[n]+by[n]&\xrightarrow{DTFT}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(ax[n]+by[n])e^{-jwn} \\ &=a\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn}+b\sum_{n=-\infty}^{\infty}y[n]e^{-jwn}\\ &=aX(e^{jw})+bY(e^{jw}) \end{aligned}$

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时移性质

设
$x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})$
则 $x[n-n_0]$的傅里叶变换为
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n-n_0]e^{-jwn}\xrightarrow{m=n-n_0}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-jwm}e^{-jwn_0}=e^{-jwn_0}X(e^{jw})$

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频移性质

设
$x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})$
则 $e^{jw_0n}x[n]$的傅里叶变换为
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jw_0n}x[n]e^{-jwn}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j(w-w_0)n}=X(e^{j(w-w_0)})$

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时域反转

设
$x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})$
则 $x[-n]$的傅里叶变换为
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[-n]e^{-jwn}\xrightarrow{m=-n}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-(-jw)m}=X(e^{-jw})$

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时域微分

设
$x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})$
由于
$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw$
两边同时对 $n$进行微分运算
$\frac{dx[n]}{dn}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}jwX(e^{jw})e^{jwn}dw$
所以
$\frac{dx[n]}{dn}\xrightarrow{DTFT}jwX(e^{jw})$

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频域微分

设
$x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})$
由
$X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn}$
两边同时对 $w$进行微分
$\frac{dX(e^{jw})}{dw}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}-jnx[n]e^{-jwn}$
$\Rightarrow \sum_{n=-\infty}^{\infty}nx[n]e^{-jwn}= j\frac{dX(e^{jw})}{dw}$
所以
$nx[n]\xrightarrow{DTFT}j\frac{dX(e^{jw})}{dw}$

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卷积性质

设
$x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})\quad y[n]\xrightarrow{DTFT}Y(e^{jw})$
则二者卷积的 $DTFT$为
$\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]*y[n])e^{-jwn}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]y[n-m]e^{-jwn} \\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\sum_{n=-\infty}^{\infty}y[n-m]e^{-jwn} \\ &\xrightarrow{k=n-m}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-jwm}\sum_{k=-\infty}^{\infty}y[k]e^{-jwk} \\ &=X(e^{jw})Y(e^{jw}) \end{aligned}$

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调制定理

设
$x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})\quad y[n]\xrightarrow{DTFT}Y(e^{jw})$
则 $x[n]y[n]$的 $DTFT$为
$\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]y[n])e^{-jwn} &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}Y(e^{j\theta})e^{j\theta n}d\theta e^{-jwn} \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]^{-j(w-\theta)n}Y(e^{j\theta})d\theta \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}Y(e^{j\theta})X(e^{j(w-\theta)})d\theta \end{aligned}$

Parseval定理

设
$x[n]\xrightarrow{DTFT}X(e^{jw})\quad y[n]\xrightarrow{DTFT}Y(e^{jw})$
则
$\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^{*}[n]&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}Y(e^{jw})e^{jwn}dw)^{*} \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x[n]e^{-jwn}Y^{*}(e^{jw})dw \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})Y^{*}(e^{jw})dw \end{aligned}$
得到Parseval定理
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^{*}[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})Y^{*}(e^{jw})dw$
如果 $y[n]=x[n]$,那么
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n] \vert^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\vert X(e^{jw})\vert^2dw$

即序列 $x[n]$的能量，可以通过对 $\vert X(e^{jw})\vert^2$的积分求得，所以称 $\vert X(e^{jw})\vert^2$为序列 $x[n]$的能量谱密度。