整数拆分 - dp - 拉格朗日插值

神仙题
题目大意：
定义 $f_m(n)$为可重集合S的个数，其中S满足S的元素都是m的非负整数次幂，并且S的元素和是n。
定义 $g_m^1(n)=f_m(n),g_m^k(n)=\sum_{i=0}^ng_m^{k-1}(n)f_m(n),k\geq2$，求： $\sum_{i=0}^ng_m(i)$。 $n,m\le10^{18},k\le20$
题解：
考虑 $f_m(n)$其实是，你有 $1,m,m^2,m^3,\dots$，用这些数字拼出 $n$的方案数，并且这些数字是无序的（即 $m$要出现在 $1$之后， $m^2$在 $m$之后）。

如果要求 $g_m^k(n)$，那么其实是，你先将 $n$表示成 $n=\sum_{i=1}^k x_i$，然后每个 $x_i$用 $1,m,m^2,m^3,\dots$表示出来，加起来就是，要用： $1,m,m^2,m^3,\dots,1,m,m^2,m^3,\dots,1,m,m^2,m^3,\dots,\dots,\dots$（总共k段）拼出n，然后拼的时候元素要是无序的（即尽管有些数字的值相同，但是标号是不同的，视为不同的数字，然后要满足标号不减）。

假定现在要求 $g_m^k(n)$（一项）。
显然数字顺序不重要，可以重新写成 $1,1,1,\dots,1,m,m,m,\dots,m,m^2,m^2,m^2,\dots,m^2,\dots$，每段有k个。

那么考虑一个普及组级别的dp，设 $F(i,j)$表示考虑了前i个数字，和为j的方案数。显然有（记第 $i$个数字是 $a_i$）枚举当前数字用了几个： $F(i,j)=\sum_{k\geq0}F(i-1,j-ka_i)$。
然后可以注意到，假设我已经算出了 $F(i-1)$，那么因为我是重新排列过数字的顺序了，所以之后加入的数字都是 $a_i$的倍数，那么第二维模 $a_i$的余数就不会变了。最终只关心n，所以 $F(i,j)$只关心 $j\%a_i=n\%a_i$的那些 $j$。

也就是说，若 $j$不满足上述条件可以从现在开始不管了。
那么既然余数只关心 $n\%a_i$，相当于是个定值，因此现在只需要表示前面的倍数即可，即重新令：
$H(i,j)=F(i,ja_i+n\%a_i)$。
其转移可以直接写出：
$H(i,j)=F(i,ja_i+n\%a_i)=\sum_{k=0}^jF(i-1,(j-k)a_i+n\%a_i)=\sum_{k=0}^jF(i-1,ka_i+n\%a_i)\\=\sum_{k=0}^jH\left(i-1,k\frac{a_i}{a_{i-1}}+\left\lfloor\frac{n\%a_i}{a_{i-1}}\right\rfloor\right)$
注意由于 $\{a_{t}\}$是重新排列过的，因此后面的a是前面的倍数，那么 $\frac{a_i}{a_{i-1}}$要么是1，要么是m，总之是个只和i有关的常数，后面的那个也是。
也就是 $H(i,j)=\sum_{k=0}^jH(i-1,d_ik+r_i)$。
有个结论是，上面那个东西，如果 $H(i-1)$是个关于第二维的 $t$次多项式，那么 $H(i)$是关于第二维的 $t+1$次多项式。
（其实你取 $d_i=1,c_i=0$，就是经典的“多项式的前缀和还是多项式并且次数加一”）
然后来填一开始的 $g$的前缀和的坑。
如果从一开始就理解为，求前缀和是用那些数字拼出一个大小不超过n 的数字s，然后新增 $x_{k+1}=n-s$这个数字，其方案数是1，或者说 $x_{k+1}$只能使用 $1$（而不是 $1,m,m^2,m^3,\dots$）来拼成，那么就是用 $k+1$个 $1$和 $k$个 $m^i,i>0$拼出n的方案数。

这样每次转移以及最后求答案的时候暴力拉格朗日插值即可。
注意最后要求的是 $F(cnt,n)=H\left(cnt,\left\lfloor\frac{n}{a_{cnt}}\right\rfloor\right)$

实现的时候要注意小心爆int/longlong之类的。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rep(i,v) rep(i,0,(int)v.size()-1)
#define lint long long
#define mod 1000000007
#define ull unsigned lint
#define db long double
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fir first
#define sec second
#define gc getchar()
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=100010,T=3000;
inline int P(int &x) { return x>=mod?x-=mod:x; }
int fac[T],facinv[T];
inline int fast_pow(int x,int k,int ans=1) { for(;k;k>>=1,x=(lint)x*x%mod) (k&1)?ans=(lint)ans*x%mod:0;return ans; }
inline int sol(int x,int s) { return (s&1)?(x?mod-x:0):x; }
inline int prelude(int n)
{
    fac[0]=1;rep(i,1,n) fac[i]=(lint)fac[i-1]*i%mod;
    facinv[n]=fast_pow(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--) facinv[i]=(i+1ll)*facinv[i+1]%mod;
    return 0;
}
struct poly{
    vector<int> f,pre,suf,xs;int n;
    inline int resize(int _n)
    {
        return n=_n+1,f.resize(n),pre.resize(n),suf.resize(n),xs.resize(n),0;
    }
    inline int PRE(int x) { return x<0?1:pre[x]; }
    inline int SUF(int x) { return x>=n?1:suf[x]; }
    inline int getxs()
    {
        rep(i,0,n-1) xs[i]=(lint)f[i]*facinv[i]%mod*facinv[n-1-i]%mod;
        return 0;
    }
    inline int F(lint x)
    {
        int ans=0;if(x<n) return f[(int)x];x%=mod;
        rep(i,0,n-1) pre[i]=PRE(i-1)*(x-i)%mod;
        for(int i=n-1;i>=0;i--) suf[i]=SUF(i+1)*(x-i)%mod;
        rep(i,0,n-1) ans+=sol((lint)xs[i]*PRE(i-1)%mod*SUF(i+1)%mod,n-i-1),P(ans);
        return ans;
    }
}h[T];lint mi[100],a[T];
int main()
{
    lint n,m;int k,cnt=0,t=0;mi[0]=1;cin>>n>>m>>k;
    while(mi[cnt]<=n/m) mi[cnt+1]=mi[cnt]*m,cnt++;
    rep(i,0,cnt) rep(j,1,k) a[++t]=mi[i];
    a[0]=1,prelude(t);
    h[0].resize(0),h[0].f[0]=1,h[0].getxs();
    rep(i,1,t)
    {
        h[i].resize(i);lint r=n%a[i]/a[i-1];
        rep(j,0,i)
            h[i].f[j]=(j?h[i].f[j-1]:0)+h[i-1].F(a[i]/a[i-1]*j+r),P(h[i].f[j]);
        h[i].getxs();
    }
    return !printf("%d\n",h[t].F(n/a[t]));
}