Luogu P4199/BZOJ3160 [2013湖北互测week1]万径人踪灭

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题目大意

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $S$，求有多少个非子串的子序列满足所有字符和在原串中的位置都关于某条对称轴对称。
数据范围　 $1\leqslant n\leqslant 10^5$

题解

可以很容易发现，答案等于回文子序列（位置也回文）的个数减去回文子串的个数。回文子串的个数很容易用 $manacher$ 算法或者 $\text{PAM}$ 搞定，关键是前面。
为了兼容 $manacher$ 算法，并且叙述简便，这里定义一个长度为 $l=2n-2$ 的字符串 $P$ 表示中间用特殊字符 $\#$ 隔开的字符串，则令 $t_i=\sum\limits_{j=0}^{min(j-i,i)} [P_{i-j}=P_{i+j}]$
若 $i$ 为偶数则答案就是 $2^{t_i+1}-1$（包括中心在内每对位置选或不选）。
若 $i$ 为奇数则答案就是 $2^{t_i}-1$（每对位置选或不选）。
$t_i$ 的计算可以用 FFT 加速（同基站）。

代码

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1000100
#define maft 1310730
const double pi=acos(-1.0);
long long p[maxn*2];
void manacher(const char *_s){
    static char tmp[maxn*2];
    long long max_right=0,mid=0,cnt=-1;
    for(int i=0;_s[i];i++)
        tmp[++cnt]=_s[i],tmp[++cnt]='#';
    tmp[cnt]='@';
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        if(i<max_right)
            p[i]=min(max_right-i,p[mid+mid-i]);
        else p[i]=1;
        for(;tmp[i-p[i]]==tmp[i+p[i]];p[i]++);
        if(p[i]+i>max_right){
            max_right=p[i]+i;
            mid=i;
        }
    } for(int i=1;i<=cnt;i++)
        p[i]=(p[i]+(i%2==0))>>1;
}
struct comp{
    double x,y;
    comp(double a=0,double b=0):x(a),y(b){}
    comp operator+(const comp &t){return comp(x+t.x,y+t.y);}
    comp operator-(const comp &t){return comp(x-t.x,y-t.y);}
    comp operator*(const comp &t){return comp(x*t.x-y*t.y,y*t.x+x*t.y);}
};
long long limit,l,r[maft];
void reset(long long n,long long m){
    for(limit=1,l=0;limit<=n+m;limit<<=1,l++);
    for(int i=1;i<limit;i++)
        r[i]=((r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
}
void fft(comp *t,long long ty){
    for(int i=1;i<limit;i++)
        if(i<r[i]) swap(t[i],t[r[i]]);
    for(long long mid=1;mid<limit;mid<<=1){
        comp wn(cos(pi/mid),ty*sin(pi/mid));
        for(int j=0,R=(mid<<1);j<limit;j+=R){
            comp w(1,0);
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*wn){
                comp x=t[j+k],y=w*t[j+k+mid];
                t[j+k]=x+y,t[j+k+mid]=x-y;
            }
        }
    }
}
char s[maxn];
comp A[maft],B[maft];
long long sa[maft],sb[maft],S[maft];
long long ans,pows[maxn];
const long long mod=1e9+7;
int main(){
    scanf("%s",s);
    pows[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        pows[i]=pows[i-1]*2%mod;
    manacher(s);
    const long long l=strlen(s);
    long long n=2*l-2;
    reset(l,l);
    for(int i=0;i<l;i++)
        if(s[i]=='a') A[i].x=1;
        else if(s[i]=='b') B[i].x=1;
    fft(A,1);fft(B,1);
    for(int i=0;i<limit;i++)
        A[i]=A[i]*A[i],B[i]=B[i]*B[i];
    fft(A,-1);fft(B,-1);
    for(int i=0;i<=n;i++){
        sa[i]=(long long)floor(A[i].x/limit+0.1);
        sb[i]=(long long)floor(B[i].x/limit+0.1);
        if((i&1)==0){
            if(s[i>>1]=='a')
                --sa[i];
            else if(s[i>>1]=='b')
                --sb[i];
        } sa[i]>>=1,sb[i]>>=1;
        ans+=pows[sa[i]+sb[i]+(!(i&1))]-p[i]-1+mod;
        ans%=mod;
    } printf("%lld",ans);
    return 0;
}