洛谷4234最小方差生成树——LCT维护图上信息的应用

题目：luogu4234.

题目大意：给定一张无向图，求这张无向图最大边和最小边的最小权值差.

首先，我们明确一点，一棵最小生成树上的最大边一定最小，这一点很容易用kruskal的算法流程来证明.

那么我们就可以考虑一个暴力算法，枚举一棵生成树的最小边，然后依照kruskal算法加入剩下的边来组成生成树，取最优即可.时间复杂度 $O(m^2logn)$ .

考虑如何优化这个算法，我们发现枚举的过程不太可能去掉，并查集的时间复杂度去掉没有多大意义，所以我们选择优化每一棵生成树的生成过程.

我们考虑，当我们枚举到一条边时，若我们当前维护的边集中加入这条边不会形成环，我们就将这条边加入.否则我们找到一条形成的环上边权最小的边，然后删掉这条边加入当前的边.当我们维护的边集组成一棵生成树的时候，我们就可以更新答案.

那么我们考虑一棵LCT来维护这道题的这棵带删除和查询链上最小值的并查集即可.

至于维护边权的LCT，拆点维护即可.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
#define Abigail inline void
const int N=50000,M=200000,INF=1<<29;
struct tree{
  int x,min,g,fa,s[2],rev;
}tr[N+M+9];
int tmp[N+M+9],ttmp;
int n,m,ans=INF,use[M+9];
struct side{
  int x,y,v;
  bool operator < (const side &p)const{return v<p.v;}
}e[M+9];
bool Isroot(int x){return tr[tr[x].fa].s[0]^x&&tr[tr[x].fa].s[1]^x;}
void Pushup(int x){
  int ls=tr[x].s[0],rs=tr[x].s[1];
  if (tr[ls].min<tr[rs].min&&tr[ls].min<tr[x].x) tr[x].min=tr[ls].min,tr[x].g=tr[ls].g;
  else if (tr[rs].min<tr[x].x) tr[x].min=tr[rs].min,tr[x].g=tr[rs].g;
    else tr[x].min=tr[x].x,tr[x].g=x;
}
void Update_rev(int x){tr[x].rev^=1;swap(tr[x].s[0],tr[x].s[1]);}
void Pushdown(int x){
  if (!tr[x].rev) return;
  tr[x].rev=0;
  Update_rev(tr[x].s[0]);Update_rev(tr[x].s[1]);
}
void Rotate(int x){
  int y=tr[x].fa,z=tr[y].fa,k=tr[y].s[1]==x;
  if (!Isroot(y)) tr[z].s[tr[z].s[1]==y]=x;tr[x].fa=z;
  tr[y].s[k]=tr[x].s[k^1];if (tr[x].s[k^1]) tr[tr[x].s[k^1]].fa=y;
  tr[x].s[k^1]=y;tr[y].fa=x;
  Pushup(y);Pushup(x);
}
void Splay(int x){
  int y,z;
  tmp[ttmp=1]=x;
  for (int i=x;!Isroot(i);i=tr[i].fa) tmp[++ttmp]=tr[i].fa;
  for (;ttmp;ttmp--) Pushdown(tmp[ttmp]);
  while (!Isroot(x)){
    y=tr[x].fa,z=tr[y].fa;
    if (!Isroot(y)) tr[y].s[1]==x^tr[z].s[1]==y?Rotate(x):Rotate(y);
    Rotate(x);
  }
  Pushup(x);
}
void Access(int x){
  for (int t=0;x;t=x,x=tr[x].fa)
    Splay(x),tr[x].s[1]=t,Pushup(x);
}
void Makeroot(int x){Access(x);Splay(x);Update_rev(x);}
int Root(int x){Access(x);Splay(x);while (tr[x].s[0]) x=tr[x].s[0];return x;}
void Split(int x,int y){Makeroot(x);Access(y);Splay(y);}
void Link(int x,int y){if (Root(x)==Root(y)) return;Makeroot(x);tr[x].fa=y;}
void Cut(int x,int y){Split(x,y);if (tr[y].s[0]^x||tr[y].s[1]||tr[x].s[1]) return;tr[y].s[0]=tr[x].fa=0;}
int Query_g(int x,int y){Split(x,y);return tr[y].g;}
Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=0;i<=n;i++) tr[i].x=tr[i].min=INF;
  for (int i=1;i<=m;i++)
    scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].v);
}
Abigail work(){
  sort(e+1,e+1+m);
  int h=1,cnt=1;
  for (int i=1;i<=m;i++) tr[i+n].x=e[i].v;
  for (int i=1;i<=m;i++)
    if (Root(e[i].x)^Root(e[i].y)){
      Link(e[i].x,i+n);Link(e[i].y,i+n);
      use[i]=1;
      while (!use[h]) ++h;
      if (++cnt==n) ans=min(ans,e[i].v-e[h].v);
    }else{
      if (e[i].x==e[i].y) continue;
      int g=Query_g(e[i].x,e[i].y)-n;
      Cut(e[g].x,g+n);Cut(e[g].y,g+n);
      use[g]=0;
      Link(e[i].x,i+n);Link(e[i].y,i+n);
      use[i]=1;
      while (!use[h]) ++h;
      if (cnt==n) ans=min(ans,e[i].v-e[h].v);
    }
}
Abigail outo(){
  printf("%d\n",ans);
}
int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}

洛谷4234最小方差生成树——LCT维护图上信息的应用

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