[学习笔记]线段树骚操作选讲

引入

• 众所周知，线段树可以维护序列，进行区间操作
• 单点加 + 区间求和
• 区间加 + 区间求和
• 区间加 + 区间乘 + 区间求和
• （省略 $+\infty$ 行）
• 但有些操作不能像上面三个问题一样通过简单的打标记 + 提取区间解决
• 而需要用到一些 trick

一、势能线段树

• 我们知道，线段树能够通过打标记实现区间修改的条件有两个：
• （1）能够快速处理标记对区间询问结果的影响
• （2）能够快速实现标记的合并
• 但有的区间修改不满足上面两个条件
• 但某些修改存在一些奇妙的性质，使得序列每个元素被修改的次数有一个上限
• 可以在线段树每个节点上记录一个值，表示对应区间内是否每个元素都达到修改次数上限
• 区间修改时暴力递归到叶子节点，如果途中遇到一个节点，这个节点的对应区间内每个元素都达到修改次数上限则在这个节点 return 掉
• 可以证明复杂度为 $O(n\log n\times修改次数上限)$
• 用几个简单的栗子说明一下

一、区间开平方，区间求和

• 一个数 $x$ 被开平方 $O(\log\log x)$ 后会变成 $1$ 或 $0$ ，继续开根后不变
• 所以线段树节点上用一个变量记录是否区间内全为 $1$ 或 $0$
• 修改时递归到叶子，如果到达了区间内全为 $1$ 或 $0$ 的节点则 return 掉
• 复杂度 $O(n\log n\log\log x)$

二、区间取模，区间求和

• 一个数 $x$ 对 $p$ 取模，如果 $x\ge p$ 则 $x$ 至少变小一半
• 每个节点维护区间和以及区间最小值
• 区间对 $p$ 取模时仍然递归到叶子
• 如果某节点的区间最小值小于 $p$ 则 return 掉
• 复杂度 $O(n\log n\log x)$

三、区间除（下取整），区间加，区间求和

• 区间整除 $1$ 是无效的，直接跳过
• 否则整除一个数会使区间内最大值与最小值的差至少减小一半
• 维护区间最小值和最大值以及区间和，区间加标记
• 整除时递归到叶子
• 如果最小值和最大值的差为 $0$ ，则该区间内所有数都相等
• 直接打上标记，注意这时候标记可以处理对区间和的影响
• 复杂度 $O(n\log n\log x)$

二、李超树 / 李超线段树 / 超哥线段树

• 考虑经典问题
• 维护一个二维平面
• 支持横坐标 $[l,r]$ 范围内插入一条线段，查询某个横坐标上的最高点
• 换成人话，区间对一个等差数列取 $\max$ ，单点查值
• 线段树每个节点维护一个标记（一条线段）
• 仍然把 $[l,r]$ 拆成线段树上不超过 $O(\log n)$ 个区间
• 我们要处理的关键问题是标记的合并，也就是两条线段 $l_1$ ， $l_2$ 放在一起的情况
• 如果在当前节点对应区间 $[l,r]$ 内 $l_1$ 完全在 $l_2$ 之上，则该区间打上标记线段 $l_1$
  
• 如果 $l_2$ 完全在 $l_1$ 之上同理
  
• 最重要的情况： $l_1$ 和 $l_2$ 在横坐标 $mid=\lfloor\frac{l+r}2\rfloor$ 的左边， $l$ 的右边位置相交，在 $[l,r]$ 的右半段 $l_2$ 在 $l_1$ 之上
  
• 这时候将 $l_2$ 保留在当前节点上， $l_1$ 的前半段下传到左子节点
• 注意这时候 $l_1$ 的前半段可能会和左子节点缓存的线段相交
• 所以这时候需要往左子节点递归
• 还有 $3$ 种情况和上面差不多
• 往交点所在的子节点递归，另一半区间内在上方的线段保留，在下方的线段下传
• 复杂度 $O(n\log^2n)$

三、线段树维护单调子序列

• 考虑经典问题
• 给定一个序列，支持单点修改
• 询问给出 $[l,r]$
• 求有多少个 $i\in[l,r]$ 满足 $i=l$ 或者 $[l,i-1]$ 内任何一个数都不大于第 $i$ 个数
• 换句话说，求 $[l,r]$ 内有多少个位置 $i$ 是 $[l,r]$ 内对应的以 $i$ 为结尾的前缀最大值
• 定义函数 $query(u,x)$
• 表示线段树 $u$ 节点对应区间内，有多少个数不小于 $x$ 且是对应区间的前缀最大值
• 线段树上维护区间最大值
• 如果 $u$ 对应的区间最大值小于 $x$ 则 $query(u,x)=0$
• 设 $u$ 的左右子树分别为 $lc$ 和 $rc$
• 如果 $lc$ 的最大值小于 $x$ 则 $query(u,x)=query(rc,x)$
• 否则 $query(u,x)=query(lc,x)+query(rc,\max_{lc})$
• 其中 $\max_{lc}$ 为节点 $lc$ 对应区间最大值
• 注意到 $query(rc,\max_{lc})$ 仅和 $u$ 有关
• 所以在节点 $u$ 上存储一个变量 $ri_u=query(rc,\max_{lc})$
• 这样就能通过 $O(n\log n)$ 的建树之后 $O(\log n)$ 查询了
• 修改直接重新计算 $\max$ 和 $ri$ ， $O(\log^2n)$
• 询问时把 $[l,r]$ 拆成线段树上的 $m$ （不超过 $O(\log n)$ ）个区间 $[l_1,r_1]$ ， $[l_2,r_2]$ ，…， $[l_m,r_m]$
• 设对应的节点分别为 $u_1,u_2,\dots,u_m$
• 并另设 $pre$ ，初始为 $-\infty$
• $i$ 从 $1$ 到 $m$ ，重复 $m$ 次下面的操作
• （1）将 $query(u_i,pre)$ 加进询问结果
• （2）如果 $query(u_i,pre)\ne0$ 则 $pre\leftarrow\max_{u_i}$
• 复杂度 $O(\log^2n)$
• 总复杂度 $O(n\log^2n)$

四、题目

• BZOJ 3211
• CF 438D
• CF 920F
• LOJ #6029
• BZOJ 4869
• BZOJ 1568
• BZOJ 3165
• BZOJ 4515
• BZOJ 2957
• BZOJ 5286