最大流最小割与对偶图

对偶图是一种神奇的东西！
对于一个平面图\(G=(V,E)\)（也就是能画在平面上，且边的交点都在顶点处的图），则它的对偶图\(G^*\)的定义如下：
1.\(G^*\)的每一个顶点对应\(G\)中的每一个面
2.对于\(G\)中的边\(e\)，若它的两侧为两个不同的平面\(f_1^*\)和\(f_2^*\)，则在\(G^*\)中有一个对应的边\((f_1^*,f_2^*)\)，若为同一个平面\(f_1^*\)，则对应一个自环\((f_1^*,f_2^*)\)
比较抽象，可以结合下面的图理解（绿边为对偶图的边）：

注意，\((5,6)\)使得\(G^*\)中多了一个\((f_4^*,f_4^*)\)的自环
对偶图的好处是什么呢？有如下两条：
1.对偶图\(G^*\)中的一个环对应\(G\)中的一个割
2.最大流和最小割可以在对偶图中转化为最短路
（两条性质貌似想一想就很显然啦QwQ）
第二条性质很重要，可以极大地优化时间复杂度。但怎么把最大流（或最小割）转化到对偶图中来呢？
比如对于上图，假设源点\(S\)，汇点\(T\)分别为\(1\)，\(6\)。首先我们先在\(G\)中在\(1\)，\(6\)间连一条虚边：

这样就多出了一个平面\(f_5^*\)。然后让\(f_5^*\)对应\(S\)，\(f_4^*\)（无界面）对应\(T\)，再建一个对偶图就行了（虚边不用管，即蓝色的那条）：

最大流或最小割就变成\(S\)到\(T\)的最短路啦！就可以上\(dij\)了